报童模型例题详解报童模型

供应链报童模型最优预期利润如何计算？公用连霍童模型对哟，预期利润要对半的时候，要把成本和收入当中出现的数字一块儿同床。

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报童模型最优解的意义用于解决实际问题。报童模型，指的是一种数学模型，用于解决实际问题，所以报童模型最优解的意义是用于解决实际问题。模型是通过主观意识借助实体或者虚拟表现，构成客观阐述形态结构的一种表达目的的物件。
随机规划模型与理论系列-002：报童问题的机会约束模型与多阶段模型记优化问题（1-2）的最优解为。若某一场景中需求的取值为，那么显然可能与差别很大。一个很自然的想法是：能否给优化问题（1-2）添加一个约束。考虑到是一个分片线性函数，那么该约束等价为
其中表示需求的所有可能的取值构成的集合。
上述约束过强，若足够大，那么很有可能没有能够满足上述约束，即优化问题不可行。进而我们可以考虑添加这样一个约束：的概率小于阈值。这就是一个chance constraint，表示如下
亦即
我们来看看的形式
于是乎chance constraint (1-7)等价于
相对于约束（1-5）来说，约束（1-8）宽松了很多。
我们对报童问题进行拓展，考虑一个多阶段问题。假定公司需要在一个时间长度为的经营活动中做决策。在第个时间段，需求是一个随机变量，记为，其中。在开始阶段，即时，我们已知当前存货量为。在每个阶段，即时，公司观测到当前存货量为，然后公司决定购入一些货物，使得存货量更新为，显然；库存量更新之后，公司观测到需求量（是的一个实例），于是在时段开始时，库存量。注意可能为正也可能为负，为负数时表示拖欠或者交付延误。时段公司的代价如下
其中表示购买成本，表示延误成本，表示库存成本。一般来说，，。
目标是所有时间段的代价和的期望最小，可写为如下优化问题
若，那么优化问题（1-9）与优化问题（1-2）是等价的。时，情况就复杂很多了。记表示截止到时间时的历史需求构成的随机过程，记表示的一个实例。在时间段开始时，我们不知道，但是我们很有可能知道在情况下的条件概率分布。假定我们知道该条件分布。
最后一个时间段，即，我们观测到了,然后我们求解下述优化问题：
亦即求解如下问题
显然优化问题（1-10）或者（1-11）的目标函数最优解时一个关于以及的函数，我们将其记为
在时，我们求解如下优化问题
注意到，优化问题（1-12）可以写为
显然优化问题（1-12）或者（1-13）的目标函数最优解时一个关于以及的函数，我们将其记为
类似地对于，我们求解如下优化问题
最后在时，求解如下问题
我们再来回顾下优化问题（1-10）-（1-14）。从开始，我们需要回溯求出函数。一般来说，很难或者几乎不可能求出上述函数。如果假定是"阶段独立"（stagewise independent）的，那么情况会变得简单很多。所谓的"阶段独立"是指，与独立。那么优化问题（1-10）-（1-14）中的条件期望就直接转换了期望。目标函数最优值也就可以写为。此时，我们可以对以及进行离散化，对于每一个我们求解相应的。但是该方法面临着维数灾难，如果以及可取值较多，那么该方法几乎不可行。后面章节我们会谈到，动态规划利用了函数的凸性来降低维数带来的灾难。
假定我们已经求解出来了优化问题（1-10）-（1-14）。记最优解为。对于，是以及的函数。而仅仅与有关。在"阶段独立"的假设下，仅仅是关于的函数。考虑到自身是由与决定。所以，我们考虑将决策视为关于的函数，即。这样的一组决策，我们称为实行策略，或者简称策略，policy 。策略是指基于当前阶段可获得的信息来做出何种决策的规则。
我们可以将优化问题（1-9）理解为在所有可能的策略中，寻找代价期望最少的策略。动态规划问题求解出来的解即为最优策略。在"阶段独立"的情况下，我们假定是下列无约束优化问题的解。
我们可以证明上述目标函数关于是凸函数，并且当逼近于无穷大时，函数值为正无穷大。因而，上述优化问题一定存在最优解。再考虑函数的凸性，可知时最优策略。当没有"阶段独立"的假设时，结论依然成立，不过此时与有关。
我们证明优化问题（1-15)的目标函数时一个凸函数，无论"阶段独立"是否成立。
记，是任意两个数，，.

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