罗尔中值定理和拉格朗日的关系罗尔中值定理

罗尔中值定理的结论有哪些直接的几何意义？罗尔定理的三个条件：
1、f(x)在[a，b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线；
2、f(x)在内(a，b)可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切线存在；
3、f(a)=f(b)表明曲线的割线(直线AB)平行于x轴；罗尔定理的结论的直几何意义是：在(a，b)内至少能找到一点ξ，使f’(ξ)=0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB，与x轴平行。
扩展资料：
罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一罗尔定理，是以法国数学家罗尔的名字命名的。罗尔定理设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续(其中a不等于b)，在开区间(a，b)上可导，且f(a)=f(b)，那么至少存在一点ξ∈(a、b)，使得f‘(ξ)=0 。
罗尔在代数学方面做过许多工作，曾经积极采用简明的数学符号如“=”、“ˇ√￣”等撰写数学著作；研究并掌握了与现代一致的实数集的序的观念以及方程的消元方法；提出所谓的级联法则来分离代数方程的根。
参考资料来源：人民网——2015考研数学重要知识点总结
什么是罗尔中值定理?罗尔（Rolle）中值定理如果函数f(x)满足：①在[a,b]上连续,②在(a,b)内可导,③f(a)=f(b),则至少存在一个ξ∈(a,b),使得 f'(ξ)=0.

文章插图
罗尔中值定理的3个条件是结论成立的什么条件罗尔中值定理：
如果函数f(x)满足以下条件：
①在闭区间[a,b]上连续,
②在(a,b)内可导,
③f(a)=f(b),
则至少存在一个ξ∈(a,b),使得f'(ξ)=0.
,因此可以得到该条件是充分的,但不是必要的,因为当f(x)=0对一切定义域都成立时,条件就不成立了,所以不必要。
罗尔定理是数学家罗尔通过推算和证明得出的结论,但在他看来,他的推论需要满足这三个条件才能够成立.如果是任意两个值的话就变成拉格朗日中值定理了
高等数学之罗尔中值定理（看不懂，题来凑）定理：如果函数 y = f(x)满足下列条件:
（1）在闭区间 [a,b] 上连续;（啥叫连续你要是不知道就去百度，百度还不知道你看我文章呗）
（2）在开区间（a,b）内可导;（可导你要是不知道，我giao）
（3）f（a） =f(b),
则在开区间（a,b）内至少存在一点 ξ，使得f ' (ξ)=0
上个图：
例1：函数f（x）=在区间[0,2]上满足罗尔定理条件的ξ=?
解：闭区间连续f（0）=f（2）
开区间可导 f '（x）=，得x=1，即ξ=1
例2：函数f（x）=在区间[0,3]上满足罗尔定理，则ξ=？
解：闭区间连续 f（0）=f（3）
开区间f'（x）==0
得x=2,即ξ=2
（1）构造辅助函数
-------将 ξ 换为 x
-------移项，使等式的一端为0
-------找出非零端的原函数f（x）
（2）验证罗尔定理的三个条件
（3）由罗尔定理得结论
设函数f（x）在闭区间[0,1]上连续，在开区间（0,1）内可导，且f（0）=0,f（1）=2证明在（0,1）内至少存在一点 ξ使得f'（ ξ）=2 ξ + 1
证明：
[1]构造辅助函数
（1）f'（x）=2x+1（将 ξ 换为 x）
（2）f'（x）-2x+1=0（移项，使等式的一端为0）
（3）（找出非零端的原函数f（x））
令
[2]验证罗尔中值定理的三个条件
因为f（x）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导;
所以F（x）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导;
原函数：
F（0）=f（0）-0-0=0;（看到这里要是看蒙了，你就看看原题f（0）和f（1）的条件）
F（1）=f（1）-1-1=2-1-1=0；
所以F（0）=F（1）
[3]由罗尔中值定理可知：
至少存在一个 ξ∈(0，1)，使得 f'(ξ)=0 。
即f'（ ξ）-2 ξ + 1f'（ ξ）=2 ξ + 1
设函数f（x）在闭区间[2，4]上连续，在开区间（2,4）内可导，且f（2）=1,f（4）=4证明?ξ（2,4），使得'(ξ)=
证明：
[1]构造辅助函数
（1）f'（x）=
x f '（x）=2 f（x）（将 ξ 换为 x）
（2）x f '（x）-2 f（x）=0（移项，使等式的一端为0）
（3）F（x）=（找出非零端的原函数f（x））
[2]验证罗尔中值定理的三个条件（三个条件看最上面）
因为f（x）在[2,4]上连续，在（2,4）内可导;
所以F（x）在[2,4]上连续，在（2,4）内可导;
原函数：
（看到这里要是看蒙了，你就看看原题f（2）和f（4）的条件）
=
所以F（2）=F（4）
[3]由罗尔中值定理可知：
?ξ（2,4），使得f'(ξ)=0
（这里还有，不知道什么情况，公式输出不了了，结果很简单，你不会的话，评论我再添上）

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