托勒密定理是高中知识吗? 托勒密定理

托勒密定理的证明托勒密定理：圆内接四边形两条对角线的乘积等于两对对边乘积之和。
如下图所示，ABCD为圆内接四边形，则对角线AC与BD的乘积等于一对对边AB与CD的乘积加上另一对对边AD与BC的乘积，即AC·BD=AB·CD+AD·BC 。
证明：
（1）如下图所示。不妨设∠ACB大于∠ACD（其实也无所谓，见下图图2，先不用管它）。于是，在∠ACB内作一个以点C为顶点、以CB为一边的∠BCE，使∠BCE=∠ACD（图(1)中的红色角）。
又由于∠CAD=∠CBE（同弧同侧的圆周角相等），所以三角形ACD与BCE相似。于是有AD : BE = AC : BC，即AD·BC=AC·BE（称为1式）。
（2）同理，如上图图(2)所示，三角形CDE与ABC相似。从而有CD : AC = DE : AB，即AB·CD=AC·DE（称为2式）。
（3）1式加上2式，即得AD·BC+AB·CD=AC·(BE+DE)=AC·BD 。即
AC·BD=AB·CD+AD·BC证毕。
扩展资料
推广
托勒密不等式：凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。
简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，
得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD
推论
1、任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。
2、托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆。
参考资料来源：百度百科-托勒密定理

文章插图
托勒密定理是什么??定理的提出
一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。
[编辑本段]定理的内容
托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
原文：圆内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于
一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．
[编辑本段]证明
（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。）
在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD
∠ABE=∠
ACD
因为△ABE∽△ACD
所以
BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD
(1)
又有比例式AB/AC=AE/AD
而∠BAC=∠DAE
所以△ABC∽△AED相似.
BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD
(2)
(1)+(2),得
AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC
又因为BE+ED≥BD
（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）
所以命题得证
[编辑本段]推论
1.任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。
2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、
[编辑本段]推广
托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。
简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，
得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD
注意：
1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。
2.四点不限于同一平面。
欧拉定理：在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD·BC+AB·CD=AC·BD
托勒密定理的证明是什么？托勒密定理的证明是：
在任意凸四边形ABCD中（如右图），作△ABE使∠BAE=∠CAD∠ABE=∠ACD，连接DE
则△ABE∽△ACD
所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD
(1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD
所以△ABC∽△AED
BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2)
(1)+(2),得
AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC
又因为BE+ED≥BD
（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）。
推论
1、任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。
【托勒密定理是高中知识吗? 托勒密定理】2、托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆。

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