逆矩阵公式总结逆矩阵

逆矩阵是什么设A是一个n阶矩阵，若存在另一个n阶矩阵B，使得：AB=BA=E，则称方阵A可逆，并称方阵B是A的逆矩阵。扩展资料
定理：
（1）逆矩阵的唯一性。
若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的.，并记作A的逆矩阵为A-1 。
（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是r(A)=m 。
对n阶方阵A,若r(A)=n,则称A为满秩矩阵或非奇异矩阵。
（3）任何一个满秩矩阵都能通过有限次初等行变换化为单位矩阵。
推论：满秩矩阵A的逆矩阵A可以表示成有限个初等矩阵的乘积。

文章插图
逆矩阵怎么求?逆矩阵求法：
方法有很多如（伴随矩阵法，行（列）初等变换等）。以伴随矩阵法来求其逆矩阵。
1、判断题主给出的矩阵是否可逆。
2、求矩阵的代数余子式，A11、A12、A13、A21、A22、A32、A31、A32、A33 。
3、求伴随矩阵。
4、得到逆矩阵。
相关性质
(1)A与B的地位是平等的，故A、B两矩阵互为逆矩阵，也称A是B的逆矩阵。
(2)单位矩阵E是可逆的。
(3)零矩阵是不可逆的，即取不到B，使OB=BO=E 。
(4)如果A可逆，那么A的逆矩阵是唯一的。事实上，设B、C都是A的逆矩阵，则有B=BE =B(AC)=(BA)C=EC=C 。
怎么求逆矩阵?逆矩阵求法有三种，分别是伴随矩阵法、初等变换法和待定系数法。
一、伴随矩阵法。根据逆矩阵的定义（对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B满足AB=BA=E，则A是可逆的。），可以得出逆矩阵的计算公式：A^(-1)=1/|A|乘以A*，其中，A*为矩阵A的伴随矩阵。例题如下：
伴随矩阵法解题过程
注：用伴随矩阵法计算逆矩阵时需要运用代数余子式和余子式的相关知识，即代数余子式（Aij）和余子式（Mij），其中，i表示第几行，j表示第几列。
二、初等变换法。根据矩阵初等行变换的计算方式，然后引入单位矩阵E（矩阵对角线所对应的三个数字均为1，其他数字均为0的矩阵）。矩阵 A与单位矩阵E组成一个大矩阵，而后通过行变换将原来A的位置转变为E，此时，变换后的E就是所求的逆矩阵。
本人手写笔记
三、待定系数法。根据矩阵定义的推论，利用矩阵A乘以它的逆矩阵A^(-1)等于单位矩阵E的计算公式求得逆矩阵的方法。这种计算过程繁琐，需要列多组方程组，耗时，不建议使用。
题主可根据以上三种计算方法计算逆矩阵，希望对题主有帮助。
什么是逆矩阵？具体回答如下：
设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。
性质定理：
1、可逆矩阵一定是方阵。
2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。
3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A 。记作（A-1）-1=A 。
4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）
5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C 。
6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
扩展资料：
若|A|≠0，则矩阵A可逆，且其中，A*为矩阵A的伴随矩阵。
证明：
必要性：当矩阵A可逆，则有AA-1=I。（其中I是单位矩阵）
【逆矩阵公式总结逆矩阵】两边取行列式，det（AA-1）=det（I）=1 。
由行列式的性质：det（AA-1）=det（A）det（A-1）=1则det（A）≠0，（若等于0则上式等于0）
充分性：有伴随矩阵的定理，有（其中是的伴随矩阵。）
当det（A）≠0，等式同除以det（A），变成
比较逆矩阵的定义式，可知逆矩阵存在且逆矩阵
参考资料：百度百科——逆矩阵
逆矩阵是什么意思？逆矩阵的性质：
1、可逆矩阵是方阵。
2、矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。
3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A 。
4、可逆矩阵A的转置矩阵AT可逆，并且（AT）-1=（A-1）T。
5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。
6、两个可逆矩阵乘积依然是可逆的。
设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得：AB=BA=E，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。
逆矩阵的唯一性：若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的。
扩展资料：
如果矩阵A和B互逆，则AB=BA=I 。由条件AB=BA以及矩阵乘法的定义可知，矩阵A和B都是方阵。再由条件AB=I以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知，这两个矩阵的行列式都不为0 。

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