卡尔曼滤波器的作用是什么卡尔曼滤波( 三 )

以下，我们将进行e的运算推导
设：
则有实际目标变量的表达式：
数学模型中目标变量的表达式：
实际模型中测量变量的表达式：
数学模型中测量变量的表达式：
将目标变量的实际值和估计值相减：
将上述方程带入误差e的表达式，我们可得出误差e的解析解：
从推导结果中我们不难看出，估计值和实际值的误差随时间呈指数形式变化，当（F-KH）1时，随着时间的推移，会无限趋近于零，也就是意味着估计值和实际值相吻合。这就是为什么卡尔曼滤波器可以完美预测出目标状态值的原理。
在估计WALL-E位置的问题上，我们不知道位置和速度的准确值，但是我们可以给出一个估计区间（图5.a ）。卡尔曼滤波假设所有的变量是随机的且符合高斯分布（正态分布）。每个变量有一个均值和一个方差（图5.b ）。而图5.c 则表示速度和位置是相关的。
假如我们已知上一个状态的位置值，现在要预测下一个状态的位置值。如果我们的速度值很高，我们移动的距离会远一点。相反，如果速度慢， WALL-E不会走的很远。这种关系在跟踪系统状态时很重要，它给了我们更多的信息：一个观测值告诉我们另一个观测值可能是什么样子。这就是卡尔曼滤波的目的------从所有不确定信息中提取有价值的信息。
根据数理统计知识，我们知道这种两个观测值（随机变量）之间的关系可以通过一个协方差矩阵
描述（图6 ）。
我们假设系统状态的分布为高斯分布（正态分布），所以在时刻我们需要两个信息：最佳预估值及其协方差矩阵（如式(2)所示）。
下一步，我们需要通过时刻的状态来预测时刻的状态。请注意，我们不知道状态的准确值，但是我们的预测函数并不在乎，它仅仅是对时刻所有可能值的范围进行预测转移，然后得出一个k时刻新值的范围。在这个过程中，位置和速度的变化为
我们可以通过一个状态转移矩阵来描述这个转换关系
同理，我们更新协方差矩阵为
到目前为止，我们考虑的都是匀速运动的情况，也就是系统没有对WALL-E的运动状态进行控制的情况。那么，如果系统对WALL-E进行控制，例如发出一些指令启动或者制动轮子，对这些额外的信息，我们可以通过一个向量来描述这些信息，并将其添加到我们的预测方程里作为一个修正。假如我们通过发出的指令得到预期的加速度，运动状态方程就更新为
引入矩阵表示为
式中称为控制矩阵，称为控制向量（例如加速度）。当然，如果没有任何外界动力影响的系统，可以忽略这一部分。
我们增加另一个细节，假如我们的预测转换矩阵不是100%准确呢，会发生什么？如果状态只会根据系统自身特性演变，那样将不会有任何问题。如果所有外界作用力对系统的影响可以被计算得十分准确，那样也不会有任何问题。但是如果有些外力我们无法预测，例如我们在跟踪一个四轴飞行器，它会受到风力影响；或者在跟踪一个轮式机器人，轮子可能会打滑，地面上的突起会使它减速。我们无法跟踪这些因素，而这些不确定事件发生时，预测方程将会失灵。因此，我们将这些不确定性统一建模，在预测方程中增加一个不确定项。
通过这种方式，使得原始状态中的每一个点可以都会预测转换到一个范围，而不是某个确定的点（图7.a ）。可以这样描述------中的每个点移动到一个符合方差的高斯分布里（图7.b ）。换言之，我们把这些不确定因素描述为方差为的高斯噪声，并用表示。这样就会产生一个新的高斯分布，方差不同，但是均值相同（图7.c ）。
通过对的叠加扩展，得到完整的预测转换方程为
新的预测转换方程只是引入了已知的系统控制因素。新的不确定性可以通过之前的不确定性计算得到。到这里，我们得到了一个模糊的估计范围------通过和描述的范围。

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