卡尔曼滤波器的作用是什么卡尔曼滤波( 二 )

我们用矢量来描述WALL-E的运动状态，这个列矢量包括位置矢量和速度矢量两个分量。在WALL-E的问题上，我们现在不知道位置和速度的准确值，但是知道WALL-E的运动模型满足状态方程，定位的方法，也即观测WALL-E运动状态的方法满足观测方程. 当然，我们也知道，这两种方法都存在一定的误差，那么我们的问题就可以转化为一个优化问题——
在这一优化问题中，目标函数是要使预测（估计）误差最小，同时约束于估计方法和的条件下。在卡尔曼滤波中，我们的估计原则（也就是最小化估计误差的原则）是最小方差无偏估计[1] ，我们将通过后面的过程分析来说明这一点。
在我们正式开始引入公式分析卡尔曼滤波问题之前，我们还必须解决一个问题------把连续的线性系统离散化，也就是将连续时域问题转化为时间序列问题。当然，目前我们只讨论线性系统的情况，关于非线性系统问题，我们有扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filtering, EKF）和无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filtering, UKF）两种方法来求解。
补充内容------连续线性时变系统的离散化
设连续线性时变系统的时域状态方程为
若采样周期为，则从时刻到时刻，有
令，，则离散化的状态方程为
通过对线性系统的离散化处理，我们现在可以考虑每一个时刻WALL-E的运动状态。接下来，我们将用来表示在时刻运动状态的最优估计值；用表示用时刻对时刻的状态预测值；用表示对时刻综合预测和观测两种方法的最优估计值。
在估计WALL-E位置的问题上，假定我们已经知道它是匀速直线运动， WALL-E身上还携带有一个GPS传感器可以提供它的位置信息， WALL-E在前进过程中可能会遇到一些情况，比如停止前进或是受到风的影响。
加入我们已知的是WALL-E上一个时刻的最佳估计状态，即k-1时刻的位置和速度，要求的是下一时刻即k时刻的最佳估计状态，即k时刻的位置和速度，我们可以发现有两种方法可以得到它的k时刻的状态：
一种是通过WALL-E设定程序计算得到下一秒的状态，比如现在设定是匀速直线运动，那么下一秒的速度应该是恒定不变的，而位置则是在上一秒位置的基础上加上时间乘以速度即一秒内走过的路程，但是现实生活中并不是理想的，机器人会受到摩擦力、风力等的影响，当然也可能会有顽皮的小孩挡住他前进的道路，这些因素使得WALL-E在k时的真实状态与我们计算得到的数据有所不同。
另一种是通过WALL-E所携带的GPS来确定它的位置，因为GPS是测量出的就是WALL-E的实时状态，因此它比较准确。但是GPS测量k时刻的状态有两个问题，一是GPS只能测出WALL-E的位置，而测不出它的速度；二是GPS传感器测量的时候也会有仪器的误差，只能说它是比较准确的，比较接近真实值的。
那么接下来问题来了，我们如何得到k时刻WALL-E的真实状态呢？
我们将第一种方法得到的状态值称为预测值，第二种方法得到的状态值称为测量值，对汽车的最佳估计就是将这两部分信息结合起来，尽量的去逼近k时刻的真实值。
下面再深入一些思考，怎么将这两部分结合起来？
在初始时间k-1 ，是WALL-E的最佳估计值， WALL-E其实可以是估计值附近的任何位置，并且这种不确定性由该概率密度函数描述。WALL-E最有可能在这个分布的平均值附近。在下一个时间，估计的不确定性增加，用一个更大的方差表示，这是因为在时间步骤k-1和k之间， WALL-E可能收到了风力的影响，或者脚可能向前滑了一点，因此，它可能已经行进了与模型预测的距离不同的距离。
WALL-E位置的另一个信息来源来自测量，方差表示误差测量的不确定性，真正的位置同样可以是平均值附近的任何位置。
预测值和测量值，对WALL-E的最佳估计是将这两部分信息结合起来，将两个概率函数相乘得到另一个高斯函数，该估计值的方差小于先前估计值，并且该概率密度函数的平均值为我们提供了WALL-E位置的最佳估计。

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