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米切尔·费根鲍姆（图片来源：Flickr）
40多年前的洛斯阿拉莫斯国家实验室 ， 一位助手对一类数列的研究引起了轰动 ， 因为它涉及了大自然的核心的秘密：从这个数列中 ， 可以发现大自然中一个基本的无量纲常数——4.6692…… 。这个常数像圆周率一样 ， 充满了神秘的未知 ， 也引领着科学的发展 。
撰文 | 张华
国家实验室的“小助手”
米切尔·费根鲍姆（Mitchell J. Feigenbaum）1944年出生在美国费城 。第二次世界大战结束后 ， 费根鲍姆一家迁回纽约布鲁克林居住 。他的父亲在纽约港务局工作 ， 母亲在公立学校教书 。
在少年时代 ， 费根鲍姆对电气工程师产生了朦胧的兴趣 ， 因为他了解到电气工程师可以研究收音机 ， 而且收入很高 。因此 ， 高中时的他选择了纽约市立大学的电气工程专业 。不过 ， 他上了大学才明白 ， 自己渴望了解的收音机知识“只不过是物理学的一小部分” 。
所以 ， 1964年从纽约市立大学毕业后 ， 费根鲍姆进入麻省理工学院攻读粒子物理学的博士学位 。1970年 ， 费根鲍姆获得物理学的博士学位 ， 但这时 ， 费根鲍姆对物理学的兴趣也有所转移 ， 他开始喜欢上了数学——严格来说 ， 他希望用当时还比较罕见的计算机来算一些数字 。在他之前 ， 已经有一位叫洛伦兹的物理学家利用计算机做天气预报 ， 计算机编程也开始成为科学研究的手段 。洛伦兹首次在微分方程组中发现了“混沌现象”的代表——蝴蝶效应 。
博士毕业后 ， 费根鲍姆进入了康奈尔大学 ， 但因为他很少发表论文 ， 看起来物理研究做得很一般 。1972年 ， 费根鲍姆来到弗吉尼亚理工学院 ， 一边教书一边思考自己感兴趣的数学问题 。这时的他有点“非主流”——当时粒子物理学家的“主流”工作是 ， 面对加速器对撞机不断生成的粒子数据 ， 研究标准模型、解释强相互作用与弱相互作用的本质 。1974年 ， 他跳槽到洛斯阿拉莫斯国家实验室理论部给一个教授做助手 。
费根鲍姆只在洛斯阿拉莫斯实验室谋到一个助手的职位 。虽然地位不高、工资也不高 ， 但费根鲍姆可以用那里的计算机做科学计算 。对他来说 ， 这已经足够了 。
利用计算机 ， 他发现了数学物理中的一个很深邃的常数 ， 相当于“发现了一个新的圆周率” ， 这一举奠定了自己在数学物理界的宗师地位 。有人甚至预测 ， 他可能因为这一贡献而获得诺贝尔奖 。
抛物线映射
为了理解费根鲍姆的发现 ， 我们需要从数列的周期说起 。
最简单的周期性数列可以很任意 ， 比如以下数列：
【常数变易法 常数】1 ， 2 ， 1 ， 2 ， 1 ， 2 ……
当然 ， 还有一些数列的周期性则要复杂的多 ， 也要有趣得多 。
比如费根鲍姆研究的数列：
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也可以表现出周期性 ， 而且随着参数b的不断增加 ， 它表现出来的周期性会不断增加 ， 会从二周期变成四周期 ， 然后变成八周期……
这个数列在数学或者物理学上被叫做“逻辑斯蒂映射”或者“抛物线映射” 。
为了方便理解 ， 我们假设这个数列的第一项是一个比1小的正数 。前面已经说到 ， 这个映射其实可以看成是一个抛物线映射 ， 因为后一项与前一项的关系满足抛物线的方程 。
所以 ， 这里的关键问题是 ， 常数b等于多少——b的数值是任意的 ， 但做数值计算时 ， 必须首先设定这个参数 。
费根鲍姆固定了不同的参数b ， 利用计算机算这个数列的后续项 。很容易看出 ， 当常数b选择到一些特定的数字时 ， 经过多次迭代 ， 整个数列最后会收敛到一个“不动点” 。即当n较大时 ， 数列中的后续项变成了：