文章插图
增广矩阵
这 ， 叫作方程组的“增广矩阵” 。
所以 ， 很多人就认为 ，
一个矩阵就对应一个线性方程组 ， 而且 ， 矩阵就是方程组的系数 。有这种理解是很正常的 ， 因为几乎所有教科书第一章第二章都在折腾方程组嘛 ， 所以 ， 很多人在学习矩阵的时候 ， 就是用这条思路学下去的 。
但是 ， 如果你一旦陷入这套原理 ， 那么你会发现 ， 整个学习过程 ， 都将是十分难受 ， 十分便秘的 ， 很多概念完全无法理解 。
我随便举几个例子 。
比如 ，
相似矩阵 。说 ， 有两个矩阵 ， A和B ， 如果你找得到另外一个矩阵P ， 使得这仨哥们满足：
文章插图
那么 ， 我们就说 ， A和B相似 。
（P-1指的是P的逆 ， 反正也是个矩阵 ， 这个以后再说）
注意 ， 这个相似的英文就是similar ， 就是长得像的意思 。
好 ， 如果我们陷入矩阵就是方程组的思维 ， 那么 ， 矩阵相似 ， 应该是两个方程组相似了？
方程哪有相似的说法呢？？？
真是一头雾水 ， 莫名其妙 。
又比如 ， 还有一套著名的概念：
矩阵的特征值和特征向量 。也就是说 ， 矩阵它有特征 ， 而且有几个数字 ， 可以代表矩阵的特征 。
难道方程组还有特征？
是不是又觉得很莫名其妙 。
这样的例子简直是多如牛毛 ， 不胜枚举 。
那问题到底出在哪？
实际上 ， 这个问题 ， 跟我们教科书有一定的关系；跟我们的课堂 ， 也有一定的关系 。
我不知道是不是很多老师觉得我刚才问的那几个问题太简单了 ， 不屑于在课堂上讲 。但实际上 ， 我觉得 ， 解答这些问题是非常重要的 。
就是 ，
我们一定要在一开始 ， 让大家觉得 ， 这些东西是很自然的 ， 而不是需要死记硬背的 。那么 ， 为什么矩阵有这么多相关概念 ， 却又难得理解呢？
是因为我们理解的方法错了 。首先 ，
矩阵就不一定表示方程组的系数 。而是 ，
矩阵只是一堆数字的阵列 ， 仅此而已 。矩阵的定义 ， 无需引入方程组 。你让矩阵的这些数字代表什么 ， 它就可以代表什么 。
比如 ， 我统计每天上午和下午的工作时间 ， 连续统计了三天 ， 分别是 ，
上午1小时 ， 下午4小时；那么 ， 我们可以将这些数据 ， 表达成一个矩阵 ，
上午2小时 ， 下午5小时；
上午3小时 ， 下午6小时；
文章插图
然后我可以对这些数据进行各种计算和处理 ， 比如 ， 我需要计算平均值 ， 或最大值 ， 等等 。
也就是说 ，
矩阵它没有必要是方程组的系数 ， 其定义与方程组无关 。那么 ， 有人说 ，
为什么人们又可以用矩阵的方式 ， 去表示方程组呢？这就是问题的要害 。
事实上 ， 所有的问题 ， 根本在于 ， 我们很多人在学习的过程当中 ，
把矩阵的历史发展顺序 ， 与矩阵理论的逻辑顺序 ， 搞混了 。而且更要命的是 ， 这两个顺序 ， 正好是个反的 。