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本文作者：神永正博

初识积分的乐趣

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现实世界中存在的物质，并非都是学校中学习的那些规则的形状。相反，那些规则的形状可以说只是例外或理想化的情况。所以，对人类而言，测量现实情况中各种复杂图形大小的技术非常必要。
日本小学的家政课会讲授乌冬面、土豆块2等简易料理的烹饪方法。如果掌握了这些基础烹饪方法的话，就能够烹制出更多复杂的菜品。例如，乌冬面的烹饪方法可以运用到面包、比萨或者意大利面中，从土豆块中学到的方法可以拓展到土豆沙拉或者油炸饼中。
如果把在小学初中学的长方形、圆形的知识比作乌冬面、土豆块，那么微积分就相当于面包、土豆沙拉等应用性料理。多亏有了积分法，人类才能够计算各种图形的面积和体积。使用积分，无论是多么奇怪的形状，只要下功夫就能够计算出结果，这真是巨大的进步。
将思考应用于实际，用自己的力量去推导面积、体积，这才是积分的乐趣，也是学习积分的真正意义。
所有图形都与长方形相通

积分的要领①：
以长方形为基础来思考。

图形的种类纷繁多样，其中面积计算最为简单的就是“长方形”了。
说到这里，大家是不是想起了小学时初学面积计算的情景？在图形面积计算中，三角形、平行四边形、梯形、圆形等图形都是放到长方形之后学习。长方形的面积仅用“长×宽”就可以计算，可以说是最简单、朴素的图形。顺便提一下，在数学世界中，正方形被看作是“一种特殊的长方形” 。

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掌握长方形面积的计算方法后，就可以将其应用到三角形的面积计算中。反过来说，如果不知道长方形面积的计算方法，也就无法计算三角形的面积。
这是因为，三角形的面积可以看作是“以三角形的一条底边为边长、该边上的高为另一边的长方形面积的一半” 。根据图2可知，三角形的面积正好是对应长方形面积的一半，也就是说“三角形的面积=底×高÷2” 。

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那平行四边形是什么情况呢？平行四边形可以看作是两个以平行四边形的边为底边的三角形的组合。

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梯形的情况又如何呢？梯形可以看作平行四边形的一半。如图4所示，两个相同的梯形并列组合形成了平行四边形。因此，梯形的面积也是以长方形为基础计算的，为“（上底+下底）×高÷2” 。

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从三角形到平行四边形，再到梯形，虽然这三个图形看上去没什么直接关联，但它们的面积公式都是以长方形面积为基础推导出来的。
近似的方法

积分的要领②：
将图形看作小长方形的组合。

在小学算术课上，大家有没有做过下面这样的事情呢？如图5所示，用圆规在方格纸上画一个圆，然后数出圆中方格的个数。之后，再画几个大小不同的圆，并数出这些圆中方格的个数。

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这项作业实际上与圆的面积公式相关。圆的面积公式是“半径×半径×3.14” ，其中的3.14是圆周率的近似值，而“尝试数方格的个数”就是一种讲解圆周率推导的方法。
在这里，我们来重新回顾一下这种方法。
先来数一数图6中，半径为2 cm的圆中有多少个方格3（方格的边长为1 mm）。虽然这种方法有些不精确，但是能让小学生更容易理解。

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图6圆中的方格共有1189个，用面积表示的话为11.89 cm2 。
圆的面积公式是“半径×半径×圆周率” 。在方格实验中，我们的目的是求圆周率，所以可以把这个公式变形，得到“圆周率=面积÷（半径×半径）” 。在图6的例子中，圆的半径为2 ，所以用面积除以2的2次方4 ，得出圆周率为2.972 5 。

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