原文作者:Eliezer Yudkowsky,AI专家 。
翻译作者,风无名,哆嗒数学网翻译组成员 。
校对:Math001
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解答者:
噢!你好!又回来啦?
好奇宝宝:
是的,我又有新问题了 。之前你说你不得不使用二阶逻辑来定义自然数 。不过,我非常确信我听说过叫做“一阶皮亚诺算术”的东西,据说它定义了自然数 。从名字上说,它不应该含有任何“二阶”公理 。坦白地说,我觉得我对这个二阶的东西还是一点感觉都没有 。
![什么是自然数 自然数有哪些 自然数包括0吗](http://csimg.miaodongshenghuo.com/221019/15194B357-0.jpg)
文章插图
解答者:
好吧,让我们通过考察如下的模型来开始:
![什么是自然数 自然数有哪些 自然数包括0吗](http://csimg.miaodongshenghuo.com/221019/1519461Q4-1.jpg)
文章插图
这个模型拥有那三个我们希望对于标准自然数都满足的性质“每一个数都有一个后继”,”如果两个数拥有一样的后继,则相等”,”0是那个唯一的不是其它数的后继的数 。” 。在这个模型中,所有这些陈述都是真的,所以从那个意义上,它的确和自然数差不多
显然这个模型不是我们正在寻找的自然数,因为它拥有多余的一些神秘的数,像C,2* 。像C那样的东西甚至是一个圈,我当然不希望任何自然数会这样 。而且,还存在双向无穷的不能收拢到任何其它的东西的一条链 。
是的,这就是一阶逻辑与二阶逻辑的区别:在一阶逻辑中,我们可以去除那些ABC——做一个陈述句,它可以排除掉任何拥有像那样的圈的模型 。但是我们不能去除掉下面的无穷的链 。在二阶逻辑中,我们可以去掉多那个多余的链 。
【什么是自然数 自然数有哪些 自然数包括0吗】好奇宝宝:
你能解释一下你刚刚说的吗,虽然眼下我还不知道二阶逻辑是什么 。
解答者:
再等我一下 。首先,细想下面这个检验“二性质”的公式:
x + 2 = x * 2
好奇宝宝:
换句话说,当x等于2的时候,这个公式是真的,其它任何地方它是假的,所以它单独挑选出2 ?
解答者:
正是 。下面这个是一个检查奇数的公式:
?y: x=(2*y)+1
好奇宝宝:
嗯,OK.这个公式在说,“存在一个y,使得x等于2乘以y加上1” 。当x是1的时候,那是真的,因为0是一个数,而且1=(2*0) + 1.当x是9的时候,那是真的,因为存在一个数4,使得(2*4)+1...正确的 。只要x取奇数那个公式就是真的,而且只对x取奇数时是真的 。
解答者:
非常正确 。现在假定我们有一个办法来检查在一个模型中ABC-圈的存在——在ABC-圈都是真的其它地方都是假的的公式 。然后,我可以改造一下这个公式,得到它的否定形式,即“任何像这样的对象都不允许存在“,增加它,使它与“每一个数都有一个后继“这些一起作为自然数的公理 。
好奇宝宝:
嗯,我可以通过表述??x:(x=A)来去除ABC-圈吗?
解答者:
嗯,只有你已经首先告诉了我A是什么才可以那么说,而且在一个去除了所有带有圈的模型的逻辑中,你不能指定某个特定的不存在的对象 。
好奇宝宝
这样啊 。OK...所以那些去除后继的圈的思路是...嗯 。在0,1,2,3这些数中,0不是任何数的后继 。如果我有一组次从1开始的数,比如{1,2,3 ...}, 在这个组中,1不是任何数的后继 。在A,B,C,数A是数C的后继,数C是数B的后继,数B是数A的后继,如果我说”不存在数的组G,使得对于G中的任何数x,它是G中另外一个数y的后继 。“
解答者:
啊!非常聪明 。不过,你刚才就在使用二阶逻辑,因为你谈论了实体的组或类,一阶逻辑仅仅谈论单个的实体 。假定我们有一个谈论小猫以及他们是否是讨人厌的逻辑 。这是一个恰好含有三个不同的都是讨人厌的小猫的论域的模型:
![什么是自然数 自然数有哪些 自然数包括0吗](http://csimg.miaodongshenghuo.com/221019/15194C114-2.jpg)
文章插图
好奇宝宝:
嗯,那些“属性”(图中的“propery”)是什么?
解答者:
它们是小猫的所有可能的类 。它们被称为属性,因为小猫的每一个类都对应了那类小猫具有的、其他类小猫不具有的属性 。比如右上角的那个只含有灰色小猫的类,就对应了一个在灰色小猫为真而在其它地方为假的某个陈述,也对应了一个只有灰色小猫具有、其它小猫不具有的属性 。事实上,从现在开始我们认为一个“属性”仅仅说了一个“类”
好奇宝宝:
好,我理解了“小猫的类”这个概念了 。
解答者:
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