什么是自然数自然数有哪些自然数包括0吗

原文作者：Eliezer Yudkowsky，AI专家。
翻译作者，风无名，哆嗒数学网翻译组成员。
校对：Math001
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解答者：
噢！你好！又回来啦？
好奇宝宝：
是的，我又有新问题了。之前你说你不得不使用二阶逻辑来定义自然数。不过，我非常确信我听说过叫做“一阶皮亚诺算术”的东西，据说它定义了自然数。从名字上说，它不应该含有任何“二阶”公理。坦白地说，我觉得我对这个二阶的东西还是一点感觉都没有。

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解答者：
好吧，让我们通过考察如下的模型来开始：

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这个模型拥有那三个我们希望对于标准自然数都满足的性质“每一个数都有一个后继”，”如果两个数拥有一样的后继，则相等”，”0是那个唯一的不是其它数的后继的数。” 。在这个模型中，所有这些陈述都是真的，所以从那个意义上，它的确和自然数差不多
显然这个模型不是我们正在寻找的自然数，因为它拥有多余的一些神秘的数，像C，2* 。像C那样的东西甚至是一个圈，我当然不希望任何自然数会这样。而且，还存在双向无穷的不能收拢到任何其它的东西的一条链。
是的，这就是一阶逻辑与二阶逻辑的区别：在一阶逻辑中，我们可以去除那些ABC——做一个陈述句，它可以排除掉任何拥有像那样的圈的模型。但是我们不能去除掉下面的无穷的链。在二阶逻辑中，我们可以去掉多那个多余的链。
【什么是自然数自然数有哪些自然数包括0吗】好奇宝宝：
你能解释一下你刚刚说的吗，虽然眼下我还不知道二阶逻辑是什么。
解答者：
再等我一下。首先，细想下面这个检验“二性质”的公式：
x + 2 = x * 2
好奇宝宝：
换句话说，当x等于2的时候，这个公式是真的，其它任何地方它是假的，所以它单独挑选出2 ？
解答者：
正是。下面这个是一个检查奇数的公式：
?y: x=(2*y)+1
好奇宝宝：
嗯，OK.这个公式在说，“存在一个y，使得x等于2乘以y加上1” 。当x是1的时候，那是真的，因为0是一个数，而且1=(2*0) + 1.当x是9的时候，那是真的，因为存在一个数4，使得(2*4)+1...正确的。只要x取奇数那个公式就是真的，而且只对x取奇数时是真的。
解答者：
非常正确。现在假定我们有一个办法来检查在一个模型中ABC-圈的存在——在ABC-圈都是真的其它地方都是假的的公式。然后，我可以改造一下这个公式，得到它的否定形式，即“任何像这样的对象都不允许存在“，增加它，使它与“每一个数都有一个后继“这些一起作为自然数的公理。
好奇宝宝：
嗯，我可以通过表述??x:(x=A)来去除ABC-圈吗？
解答者：
嗯，只有你已经首先告诉了我A是什么才可以那么说，而且在一个去除了所有带有圈的模型的逻辑中，你不能指定某个特定的不存在的对象。
好奇宝宝
这样啊。OK...所以那些去除后继的圈的思路是...嗯。在0，1，2，3这些数中，0不是任何数的后继。如果我有一组次从1开始的数，比如{1,2,3 ...}, 在这个组中，1不是任何数的后继。在A，B，C，数A是数C的后继，数C是数B的后继，数B是数A的后继，如果我说”不存在数的组G，使得对于G中的任何数x，它是G中另外一个数y的后继。“
解答者：
啊！非常聪明。不过，你刚才就在使用二阶逻辑，因为你谈论了实体的组或类，一阶逻辑仅仅谈论单个的实体。假定我们有一个谈论小猫以及他们是否是讨人厌的逻辑。这是一个恰好含有三个不同的都是讨人厌的小猫的论域的模型：

文章插图
好奇宝宝：
嗯，那些“属性”(图中的“propery”)是什么？
解答者：
它们是小猫的所有可能的类。它们被称为属性，因为小猫的每一个类都对应了那类小猫具有的、其他类小猫不具有的属性。比如右上角的那个只含有灰色小猫的类，就对应了一个在灰色小猫为真而在其它地方为假的某个陈述，也对应了一个只有灰色小猫具有、其它小猫不具有的属性。事实上，从现在开始我们认为一个“属性”仅仅说了一个“类”
好奇宝宝：
好，我理解了“小猫的类”这个概念了。
解答者：

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