什么是自然数自然数有哪些自然数包括0吗( 二 )

在一阶逻辑中，我们可以谈论单个的猫，它与其它单个猫的关系，符合某个特殊关系的猫是否存在。在二阶逻辑中，我们可以谈论猫的类，以及某些类是否存在。所以，在一阶逻辑中，我能说，“存在一只不讨人厌的猫”或者“对于任意一只猫，它都是不讨人厌的”或者“对于任意一只猫，存在另外一只猫它喜欢第一只猫” 。不过，需要二阶逻辑才形成关于“猫的类”的叙述句，比如“不存在一个猫的类，使得该类中的每一个猫都被该类中的另一只猫所喜欢”
好奇宝宝：
我懂了。所以，当我想说你不能拥有任何数的组，使得这个组中的任一个数都是这个组中的其它某个数的后继...
解答者：
……你对数的类是否存在进行了量化描述，这意味着你在使用二阶逻辑。不过，就这个情形来说，仅使用一阶逻辑来去除ABC-圈，也是容易的，可能的。考察这个公式：
x=SSSx
好奇宝宝：
x 加3与它自己相等？
解答者：
对的。这是一个一阶公式，因为它没有谈论类。在0，1，2，3...这个公式是假的，不过在A,B,C它是真的。

文章插图
好奇宝宝：
图中的那个加号“+”是什么意思？
解答者：
嗯，我试图使用加号“+”来说“这公式是真的”，类似的，假定“?”的意思是那个公式是假的。一个普通的想法是，我们现在有一个公式来检查3-圈，把它们与像0，1，2这样的标准数区分开来。
好奇宝宝：
我明白了。所以，通过添加??x:x=SSSx作为一条新的公理，所有含有A,B,C或者任何其它的非标准数的3-圈的模型，我们就可以都去除了。
解答者：
是的。
好奇宝宝：
不过，这样向自然数的基础理论添加一条公理，好像过于随意。我的意思是，我从来没有看到过这样描述自然数的尝试：把“没有一个数等于它自己加3”作为一个基本的前提。看起来它应该是一条定理，而不是公理。
解答者：
那是因为它是通过引入一个更加一般的的规则来引入的。具体来说，一阶算术有一个无穷公理模式——一个无穷但是可计算的公理模式。这个模式的每一条公理说了，对于一个一阶公式Φ(x)：
1. 如果Φ在0是真的，即Φ(0)
2. 只要Φ在一个数时为真，则在这个数的后继也为真，即?x: Φ(x)→Φ(Sx)
3. 那么，Φ在所有数都是真的: ?n: Φ(n)，即
(Φ(0) ∧ (?x: Φ(x) → Φ(Sx))) → (?n: Φ(n))
换句话说，对于每一个公式，它在0时真的，它在每一个使它为真的下一个数都是真的，那么它在任何一个数都是真的。这就是一阶算术的归纳模式。作为一个特例，我们有这个归纳公理:
(0≠SSS0 ∧ (?x: (x≠SSSx) → (Sx≠SSSSx)) → (?n: n≠SSSn)
好奇宝宝:
不过那并没有说对于所有的n，n≠n+3 。它给出了一些前提条件，然后根据这些前提能可以得出最后那个结论，但是我并不知道那些前提条件在哪里。
解答者:
啊，然而，使用算术的其它公理，我们证明那些前提条件，从而证明了这个结论。公式(SSSx=x)在0是假的，因为0不是任何数的后继，包括SS0 。类似地，考虑公式SSSSx=Sx，我们可以整理为S(SSSx)=S(x) 。如果两个数有相同的后继则它们是相等的，于是SSSx=x 。根据逆否命题等价的逻辑规则：如果在Sx的真实性证明了在x的真实性，那么，在x为假就证明了在Sx为假。于是那个公式在0是假的，当它是假的时候它的后继也取值为假，于是根据一阶算术的归纳公理模式它必然处处为假。所以，一阶算术可以去掉像这样的模型：

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好奇宝宝：
...嗯，我认为我明白了。如果这个模型遵守了我们已经指定了的其它公理（它们没有去除掉这个模型），比如“零不是任何数的后继”、“拥有同样后继的两个数相等”——那么我们可以证明公式x≠SSSx 在0是真的，可以证明那个公式如果在x是真的那么在x+1也是真的。所以，一旦我们更进一步地添加公理x≠SSSx在0是真的，以及如果x≠SSSx在y是真的则在Sy也是真的，那么x≠SSSx在所有的x都是真的...
解答者：
我们已经得到了这些前提条件了，所以我们得到了那个结论 ?x: x≠SSSx，从而去除了所有的3-圈。对于任意的N，类似的逻辑可以去除N-圈。”
好奇宝宝：
所以，我们去除了所有的非标准自然数、只留下了标准自然数?
解答者：
不。因为还存在与-2*, -1*, 0*, 1* 这个无穷链相关的问题。

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