将一n阶可逆矩阵A和n阶单位矩阵I写成一个nX2n的矩阵对B施行初等行变换 ， 即对A与I进行完全相同的若干初等行变换 ， 目标是把A化为单位矩阵 。当A化为单位矩阵I的同时 ， B的右一半矩阵同时化为了A的逆矩阵 。
如果矩阵A和B互逆 ， 则AB=BA=I 。由条件AB=BA以及矩阵乘法的定义可知 ， 矩阵A和B都是方阵 。再由条件AB=I以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知 ， 这两个矩阵的行列式都不为0 。
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