射影定理高考能直接用吗射影定理

射影定理公式在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有：a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA，这三个式子叫做射影定理。
射影定理内容
AB2=AD·AC，BC2=CD·CA
两式相加得：
【射影定理高考能直接用吗射影定理】 AB2+BC2=AD·AC+CD·AC=（AD+CD)·AC=AC2（即勾股定理）。
注：AB2的意思是AB的2次方。
射影定理证明
已知:三角形中角A=90度。AD是高。
证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB 同理可证其余。
证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可证其余。
什么是射影定理？射影定理是针对直角三角形。所谓射影，就是正投影。其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影。由三角形相似的性质可得射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）即直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式：对于直角△ABC,∠BAC=90度,AD是斜边BC上的高，射影定理，（AD）^2=BD·DC （AB）^2=BD·BC （AC）^2=CD·BC 这主要是由相似三角形来推出的，例如（AD）^2=BD·DC：由图可得三角形BAD与三角形ACD相似，所以AD/BD＝CD/AD 所以（AD）^2=BD·DC
什么是射影定理,怎样运用的?射影就是正投影,从一点到过顶点垂直于底边的垂足,叫做这点在这条直线上的正投影.一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段,叫做这条线段在这直线上的正投影,即射影定理.直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.
公式如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高,则有射影定理如下：
（1）（BD）^2;=AD·DC,
（2）（AB）^2;=AD·AC ,
（3）（BC）^2;=CD·AC .
等积式
（4）ABXBC=BDXAC
证明：在 △BAD与△BCD中,∠A+∠C=90°,∠DBC+∠C=90°,∴∠A=∠DBC,又∵∠BDA=∠BDC=90°,∴△BAD∽△CBD相似,∴ AD/BD＝BD/CD,即（BD）2=AD·DC.其余类似可证.(也可以用勾股定理证明)
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理.由公式（2）+（3）得：
（AB）^2;+（BC）^2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=（AC）^2;,
即（AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2;.
这就是勾股定理的结论.[编辑本段]任意三角形射影定理任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：
设⊿ABC的三边是a、b、c,它们所对的角分别是A、B、C,则有
a＝b·cosC＋c·cosB,
b＝c·cosA＋a·cosC,
c＝a·cosB＋b·cosA.
注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例,b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB,故名射影定理.
证明1：设点A在直线BC上的射影为点D,则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD,且
BD=c·cosB,CD=b·cosC,∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB.同理可证其余.
证明2：由正弦定理,可得：b=asinB/sinA,c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA
=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB＋b·cosA.同理可证其它的.
什么叫射影定理射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。射影定理是数学图形计算的重要定理。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：
BD2=AD·CD
AB2=AC·AD
BC2=CD·AC
由古希腊著名数学家、《几何原本》作者欧几里得提出。
此外，当这个三角形不是直角三角形但是角ABC等于角CDB时也成立。可以使用相似进行证明，过程略。
扩展资料：
验证推导
①CD2=AD·BD;
②AC2=AD·AB;
③BC2=BD·AB;
④AC·BC=AB·CD
证明：①∵CD2+AD2=AC2,CD2+BD2=BC2
∴2CD2+AD2+BD2=AC2+BC2
∴2CD2=AB2-AD2-BD2
∴2CD2=(AD+BD)2-AD2-BD2
∴2CD2=AD2+2AD·BD+BD2-AD2-BD2
∴2CD2=2AD·BD
∴CD2=AD·BD
②∵CD2=AD·BD(已证)
∴CD2+AD2=AD·BD+AD2
∴AC2=AD·(BD+AD)
∴AC2=AD·AB
③BC2=CD2+BD2
BC2=AD·BD+BD2
BC2=(AD+BD)·BD
BC2=AB·BD
∴BC2=AB·BD
④∵S△ACB=
AC×BC=
AB·CD
∴
AC·BC=
AB·CD

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