常微分方程第四版王高雄pdf 常微分方程

常微分方程之常微分方程（基础知识篇）一、常微分方程的基本概念
定义1微分方程:表示未知函数、未知函数的导数(或微分)与自变量之间的关系的方程
如果微分方程中的未知函数仅含有一个自变量,这样的微分方程称为常微分方程否则,称为偏微分方程
定义2微分方程的阶:方程中未知函数的最高阶导数的阶数n 叫做该微分方程的阶 ,同时该方程叫做n阶微分方程
定义3线性微分方程:微分方程中所含的未知函数及其各阶导数全是一次幂
例题：下列方程中为一阶线性方程的是C
A.'+B. y'+C.x y'+y = sin xD.'-x y=1
定义4微分方程的解:代入微分方程后能使方程成为恒等式的函数y=f(x)
定义5通解:解中所含任意常数相互独立,个数与方程的阶数相同
定义6特解:不含任意常数的解
【常微分方程第四版王高雄pdf 常微分方程】 定义7我们用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件,称为微分方程的初始条件
定义8初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题
定义9初值问题特解:通过初始条件确定的不含任意常数的解

文章插图
常微分方程的定义常微分方程，学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。
定义1：凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。定义式如下：
定义2：任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。
常微分方程的基本概念 (本笔记使用的书是丁同仁和李承治的《常微分方程教程》)
学习常微分方程之前,首先说明几个很常见的概念. 微分方程指含有函数和函数导数的方程.如果未知函数是单变量函数,那么称之为常微分方程(ODE) ;如果未知函数是多元函数,那么称之为偏微分方程(PDE) .对于一个常微分方程,如果出现的最高求导次数项为,则称该方程为阶的;如果出现的最高次幂项为k次幂项,则称该方程为次的.
实际上我们研究的主要问题就是ODE解的存在性和求解问题,
至于为什么一个微分方程的通解有个任意常数,我们暂时无法解决,但一个含有个任意常数的函数是否对应一个n阶微分方程的解呢?
如果通解的常数都固定下来,那么就称此时的为一个特解 .固定任意常数的方法可以是给出的各阶导数的函数值,这样的问题我们成为初值问题 ,也称作.初值条件的一般形式是实际上我们可以在初值条件的一个邻域内类似 Ex 1 地确定通解中的所有任意常数.
以一阶微分方程为例
设它的通解是,显然对于I内的一个点即使我们不知道的表达式我们仍然知道在这一点处的斜率是,我们称经过斜率为f(x_0,y_0)的一条小线段为在的线素 ,记作,I及其上所有线素称作线素场 .无论是确定值还是无穷大,我们都能得到确定的线素,如果点的值是不定式,那么我们称这点为线素场的奇异点 .
为了作出微分方程的线素场,我们常常用来近似作图,这条曲线上所有线素的斜率相同,因此这条曲线被称为线素场的等斜线 .
常微分方程知识点总结有哪些？常微分方程知识点总结如下：
1、代入微分方程能使方程两端称为恒等式的函数y=φ（x）称为微分方程的解。
2、不含任意常数的微分方程的解，称为微分方程的特解。
3、对于一阶线性微分方程的考察形式，一般有四种，以x作为自变量、以y作为自变量、非常见式形式和求方程的特解。
4、所谓的微分方程，指的是未知函数、未知函数的导数（微分）与自变量之间的关系的方程。
5、常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。

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