雅可比行列式的意义雅可比行列式

雅克比行列式是什么？雅可比行列式通常称为雅可比式(Jacobian) ，它是以n个n元函数的偏导数为元素的行列式。事实上，在函数都连续可微（即偏导数都连续）的前提之下，它就是函数组的微分形式下的系数矩阵（即雅可比矩阵）的行列式。
若因变量对自变量连续可微，而自变量对新变量连续可微,则因变量也对新变量连续可微。这可用行列式的乘法法则和偏导数的连锁法则直接验证。也类似于导数的连锁法则。偏导数的连锁法则也有类似的公式；这常用于重积分的计算中。
面积元证明：
二维下dx(u,v)dy(u,v)=Jdudv成立。
证明：对于曲面x=x(u,v),y=y(u,v),取它的微元，即小曲边四边形ABCD ，其中A(u,v),B(u+△u,v),C(u+△u,v+△v),D(u,v+△v),这个曲边四边形ABCD可以近似看成由微小向量B(u+△u,v)-A(u,v)和D(u,v+△v)-A(u,v)张成。
利用中值定理可知：(u+△u,v)-(u,v)=Mdu(u,v+△v)-(u,v)=Ndv式中M ， N为偏导数形式，可以通过简单计算得出。
当变化量很小时，将(u+△u,v)-(u,v)近似看为dx(u,v)(u,v+△v)-(u,v)近似看为dy(u,v) ，故dx(u,v)dy(u,v)=M*Ndudv式中M*N为二维Jacobi行列式的展开形式。
雅可比行列式怎么理解呢？雅可比行列式通常称为雅可比式(Jacobian)它是以n个n元函数的偏导数为元素的行列式。事实上，在函数都连续可微（即偏导数都连续）的前提之下，它就是函数组的微分形式下的系数矩阵（即雅可比矩阵）的行列式。若因变量对自变量连续可微，而自变量对新变量连续可微,则因变量也对新变量连续可微。这可用行列式的乘法法则和偏导数的连锁法则直接验证。也类似于导数的连锁法则。偏导数的连锁法则也有类似的公式；这常用于重积分的计算中。如果在一个连通区域内雅可比行列式处处不为零，它就处处为正或者处处为负。如果雅可比行列式恒等于零，则函数组是函数相关的，其中至少有一个函数是其余函数的一个连续可微的函数。
【雅可比行列式的意义雅可比行列式】

文章插图
雅可比行列式是什么？雅可比行列式通常称为雅可比式(Jacobian) ，它是以n个n元函数的偏导数为元素的行列式。
坐标系变换后单位微分元的比率或倍数。因为非线性方程组被线性化（偏微分）后，可以使用矩阵工具了，雅克比矩阵就是这个线性化后的矩阵。
任给一个n维向量X ，其范数‖X‖是一个满足下列三个条件的实数：
（1）对于任意向量X ， ‖X‖≥0 ，且‖X‖＝0óX＝0；
（2）对于任意实数λ及任意向量X ， ‖λX‖＝｜λ｜‖X‖；
（3）对于任意向量X和Y ， ‖X＋Y‖≤‖X‖＋‖Y‖ 。
在向量分析中，雅可比矩阵是函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。
在代数几何中，代数曲线的雅可比行列式表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代数群，曲线可以嵌入其中。
它们全部都以数学家卡尔·雅可比命名；英文雅可比行列式"Jacobian"可以发音为[ja ?ko bi ?n]或者[?? ?ko bi ?n] 。

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