抽样分布理论抽样分布

什么是抽样分布？样本统计量的分布与总体分布的关系是什么所谓抽样分布，就是指样本统计量的分布。所有的样本均值形成的分布就是样本均值的抽样分布。样本均值抽样分布的形状与原有总体的分布有关，如果原有总体是正态分布，那么，无论样本容量的大小，样本均值也服从正态分布，其分布的数学期望为总体均值，方差为总体方差的1/n，即。如果原有总体的分布不是正态分布，就要看样本容量的大小了，当n为大样本时(n≥30)，根据统计上的中心极限定理可知，当样本容量n增大时，不论原来的总体是否服从正态分布，样本均值的抽样分布都将趋于服从正态分布，其分布的数学期望为总体均值，差为总体方差的1/n 。

文章插图
什么叫抽样分布抽样分布也称统计量分布、随机变量函数分布，是指样本估计量的分布。样本估计量是样本的一个函数，在统计学中称作统计量，因此抽样分布也是指统计量的分布。以样本平均数为例，它是总体平均数的一个估计量，如果按照相同的样本容量，相同的抽样方式，反复地抽取样本，每次可以计算一个平均数，所有可能样本的平均数所形成的分布，就是样本平均数的抽样分布。
定理
(1)从总体中随机抽取容量为n的一切可能个样本的平均数之平均数，等于总体的平均数，即，(E为平均的符号,为样本的平均数，μ为总体的平均数) 。
(2)从正态总体中，随机抽取的容量为n的一切可能样本平均数的分布也呈正态分布。
(3)虽然总体不是正态分布，如果样本容量较大，反映总体μ和σ的样本平均数的抽样分布，也接近于正态分布。
举例说明什么是抽样分布(一)样本均值的抽样分布
1．样本均值抽样分布的形成
样本均值的抽样分布即所有样本均值的可能取值形成的概率分布。例如，某高校大一年级参加英语四级考试的人数为6000人，为了研究这6000人的平均考分，欲从中随机抽取500人组成样本进行观察。若逐一抽取全部可能样本，并计算出每个样本的平均考分，将会得出很多不完全相同的样本均值，全部可能的样本均值有一个相应的概率分布，即为样本均值的抽样分布。
我们知道，从总体的N个单位中抽取一个容量为n的随机样本，在重复抽样条件下，共有个可能的样本；在不重复抽样条件下，共有个可能的样本。因此，样本均值是一个随机变量。
2．样本均值抽样分布的特征
从抽样分布的角度看，我们所关心的分布的特征主要是数学期望和方差。这两个特征一方面与总体分布的均值和方差有关，另一方面也与抽样的方法是重复抽样还是不重复抽样有关。样本均值的方差则与抽样方法有关。在重复抽样条件下，样本均值的方差为总体方差的1/n，即：
公式一：
在不重复抽样条件下，样本均值的方差为：
公式二：
从公式一和公式二可以看出两者仅相差系数，该系数通常被称为有限总体修正系数。在实际应用中，这一系数常常被忽略不计，主要是因为：对于无限总体进行不重复抽样时，由于N未知，此时样本均值的标准差仍可按公式一计算，即可按重复抽样处理；对于有限总体，当N很大而抽样比例n/N很小时，其修正系数，通常在样本容量n小于总体容量N的5%时，有限总体修正系数就可以忽略不计。因此，公式一是计算样本均值方差的常用公式。
3．样本均值抽样分布的形式
样本均值抽样分布的形式与原有总体的分布和样本容量n的大小有关。如果原有总体是正态分布，那么，无论样本容量的大小，样本均值的抽样分布都服从正态分布。如果原有总体的分布是非正态分布，就要看样本容量的大小。随着样本容量n的增大(通常要求n≥30)，不论原来的总体是否服从正态分布，样本均值的抽样分布都将趋于正态分布，即统计上著名的中心极限定理。虽然总体成绩的分布形态未知，但σ已知，且n=150为大样本，依据中心极限定理可知：样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
(二)样本比例的抽样分布
【抽样分布理论抽样分布】样本比例即指样本中具有某种特征的单位所占的比例。样本比例的抽样分布就是所有样本比例的可能取值形成的概率分布。例如，某高校大一年级学生参加英语四级考试的人数有6000人，为了估计这6000人中男生所占的比例，从中抽取500人组成样本进行观察，若逐一抽取全部可能样本，并计算出每个样本的男生比例，则全部可能的样本比例的概率分布，即为样本比例的抽样分布。可见，样本比例也是一个随机变量。

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