微分几何期末考试题及答案微分几何

什么是微分几何？.微分几何是以微积分作为工具研究曲线和曲面的性质及其推广应用的几何学。"微分几何学"一词是1894年由毕安基提出的。
;BigClassName=%CA%FD%D1%A7%CC%EC%B5%D8SmallClassName=%D1%A7%BF%C6%B7%D6%D6%A7
3.代数几何是现代数学的一个重要分支学科。它的基本研究对象是在任意维数的空间中，由若干个代数方程的公共零点所构成的集合的几何特征。这样的几何通常叫做代数簇，而这些方程叫做这个代数簇的定义方程组。代数簇的最简单例子就是平面中的代数曲线。当前代数几何研究的重点是正体问题，主要是代数簇的分类以及给定的代数簇中的子簇的性质。
代数几何与数学的许多分支学科有着广泛的联系。代数几何的发展和这些学科的发展起着相互促进的作用。同时作为一门理论学科，代数几何的应用前景也开始受到人们的注意。近年来人们在现代物理的最新超弦理论中，已广泛应用代数几何。
微分几何主要用于哪些学科？微分几何起源于古典微分几何,就是研究三维欧氏空间中的曲线和曲面的数学分支.这个分支从微积分建立伊始就开始了,高斯把它系统化,并且发现了内蕴几何. 粗略地说,内蕴几何的含义就是不需要借助于三维欧氏空间就可以刻画曲面的性质.这使得曲面可以脱离三维空间而独立存在.黎曼把这个理论发展为黎曼几何,可以研究任意维数的弯曲空间.经过黎曼、Ricci、Levi-Civita 等人的推动,流形、张量、联络、曲率等等概念都建立起来了.这就是微分流形理论的雏形.这时候的微分流形是用局部坐标来刻画的,就如同老师教地理的时候给你一本世界地图册却不拿地球仪来一样,地理老师甚至都不能明确地告诉你,我们生活在一个大致是球面的世界上,地理课就这么开下去了. 广义相对论就是在这么一个背景下建立的.除了广义相对论,分析力学也可以用类似的方式来描述（尽管它产生得更早）.此外,李群理论也在这样一个背景下,用大致相似的方式建立起来了.德国的女数学家 Noether 建立了（拉格朗日系统和哈密顿系统的）守恒律和连续对称性之间的关系,这就是著名的 Noether 定理.这些都促使物理学家关注微分几何理论. 现代微分流形理论的体系主要是在 Weyl、Whitney、Cartan 等人的工作基础上建立的.尽管基本的研究对象和黎曼以来没有太大的变化,但是在概念上都大大地深化和细化了.打个比喻,这就像地理老师搬来了地球仪来上课一样,并进而从地球讲到了整个宇宙,特别是地球在宇宙中的地位,毫无疑问地扩大了学生的视野、深化了学生的认识. 黎曼几何只是微分流形理论中的一个分支而已.当然也是最基本的一个分支.和 Lagrange 力学相关的几何与切丛密切相关,和 Hamilton 力学相关的几何则是辛几何这个分支.Lie 群理论也是一个相当重要和基本的分支.可以说,这些分支都是物理学的各种基本理论的基础. 纤维丛理论也是微分流形理论的一个分支.它不仅在数学中重要,对于现代物理学中的量子力学、经典和量子场论、粒子物理学等等,都起着基础的支撑作用.
微分几何主要研究什么微分几何是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科.古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面,而现代微分几何开始研究更一般的空间----流形.微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系,对物理学的发展也有重要影响.爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础.
微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象,所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的.既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质,则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等,就是微分几何中重要的讨论内容,而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法.
在曲面上有两条重要概念,就是曲面上的距离和角.比如,在曲面上由一点到另一点的路径是无数的,但这两点间最短的路径只有一条,叫做从一点到另一点的测地线.在微分几何里,要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条测地线,还要讨论测地线的性质等.另外,讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容.
微分几何
在微分几何中,为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质,常常用所谓“活动标形的方法”.对任意曲线的“小范围”性质的研究,还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究.
在微分几何中,由于运用数学分析的理论,就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小,一些复杂的依赖关系可以变成线性的,不均匀的过程也可以变成均匀的,这些都是微分几何特有的研究方法

微分几何期末考试题及答案 微分几何

秒懂生活扩展阅读

微分几何期末考试题及答案微分几何