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二次函数作为初中数学的重点与难点,也是进一步学好高中数学的重要基础,在中考数学中,可以说是占据绝对重要的核心位置 。如以二次函数为背景设置的压轴题,基本是全国各省市的必考题型,此类题型突出了利用函数思想进行科学探究的过程考查,体现了代数与几何的联系,通过几何考查函数的应用,通过函数去考查几何的应用,使函数与几何融为一体 。
因此,二次函数有关的中考试题,一方面能很好考查考生的知识掌握程度,另一方面更能考查考生的分析问题和解决问题的能力,体现中考人才选拔的功能 。
中考试题既关注知识之间的纵向联系,又关注了知识间的横向联系,在考查学生思维的灵活性、广阔性方面具有较高的效度,这些都是中考命题老师关注的焦点,而二次函数相关的知识点、方法技巧和题型刚好能够体现这些作用与功能 。
二次函数有关的压轴题,注重思维能力的考查,而不是单纯的计算操作,融合了几何性质与代数运算为一体 。如一些试题会通过点的运动带来图形的变化,考查的知识代数中有函数的解析式、图象与性质等,几何中有相似、全等、面积等内容 。这样的综合问题突出了对待定系数法、配方法、数形结合、归纳概括、化归转化、分类讨论、函数与方程、演绎推理、函数建模等主要数学思想方法的考查 。
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就像下面这道二次函数有关的压轴题,就非常典型,一起来看看 。
如图,抛物线y=x2-bx-5与x轴交于A.B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点C与点F关于抛物线的对称轴对称,直线AF交y轴于点E,|OC|:|OA|=5:1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求直线AF的解析式;
(3)在直线AF上是否存在点P,使△CFP是直角三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由.
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考点分析:
二次函数综合题,二次函数的性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,直角三角形的判定,等腰直角三角形的性质 。
题干分析:
(1)根据抛物线解析式求出OC的长度,再根据比例求出OA的长度,从而得到点A的坐标,然后把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出b,即可得到抛物线解析式 。
(2)由y=x2﹣4x﹣5=(x﹣2)2﹣9可得对称轴为x=2,根据点C、F关于对称轴对称可得点F的坐标,然后利用待定系数法求直线函数解析式求解即可 。
(3)分①点P与点E重合和②CF是斜边两种情况讨论即可 。
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中考试题都重视方法和思维的考查,重视用运动的观点来分析问题和解决问题,体现出一定的数学思考和解决问题能力方面的要求,因而能更好地培养学生的独立思考能力和探索精神,培养学生的创造意识与创新能力 。
以二次函数为背景的解答题,可以发现试题的设计大都由简单到复杂的两到三个问题组成,由浅入深,逐层递进,涵盖了图形与坐标、图形与变换、函数图像与性质等核心知识,突出了对待定系数法、配方法、数形结合、归纳概括、转化化归、分类讨论、函数与方程、演绎推理、函数建模等主要数学思想方法的考查 。
如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,﹣3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
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考点分析:
二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,翻折的性质,菱形的判定和性质,二次函数最值 。
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