狄利克雷函数为什么处处不连续狄利克雷函数( 二 )

文章插图
数学家们惊讶地发现，狄利克雷函数处处不连续，处处不可导，在任意区间上也不存在黎曼积分。狄利克雷函数极为“扭曲”的分析性质所带来的冲击甚至比傅里叶的例子还要大，对某些顽固的数学家来说，甚至是致命的，因为这个函数无法把它的图像直接画出来，完全没有任何解析性质，也就没法“想象”了。基于长期的考虑，1837年狄利克雷给出了我们今天所见到的函数定义：给定区间上的自变量x，都有唯一的因变量y与之对应，那么y是x的函数。集合论出现之后，1887年戴德金又给出了两个集合之间函数的定义，自此函数便有了摆脱直观而且明确的定义。

文章插图
狄利克雷大概是历史上第一个真正考虑抽象函数的数学家，他关心函数的单调性，连续性，可导可积性等，而忽略函数的实际来源和物理几何意义，也就是说，狄利克雷关心的是函数本身的性质，而不是关于它的各种计算。应该说，从狄利克雷开始，对函数的认识实现了从具体到抽象的演变，而且事实证明，这不仅没有脱离实际，反而促进了函数的各种应用，因为数学想要发挥更大的作用，那么它本身必须要有坚实严格可信的基础。
【狄利克雷函数为什么处处不连续狄利克雷函数】狄利克雷算是开了个头，接下来柯西开始为极限和连续性等概念注入“严格”的灵魂，但他仍未摆脱“连续”的限制。在柯西的手中，他所考虑的函数都是连续的，这无论是对于数学本身还是物理等相关学科都是不够的。而突破连续性限制的第一人则是伟大的黎曼，在发展黎曼积分理论的过程中，黎曼给出了另一个著名的函数，也就是我们今天所说的黎曼函数：

文章插图
黎曼函数在有理点不连续而在无理点连续，但出人意料的是它是可积的，这也就深刻揭示了可积函数与联系函数的巨大差异。但限于历史局限，黎曼也未能突破不连续点过多所带来的影响，这将留待后人解决。

文章插图
分析学的严格化是数学史上长达百年的漫长过程，而这其中的集大成者正是大名鼎鼎的“现代分析学之父”魏尔斯特拉斯。魏尔斯特拉斯被称为“数学流言终结者”，他在一生中凭借强大的数学直觉，针对一些错误的数学想法，构造出了非常多的反例，其中最出名的便是给出了“处处连续但处处不可导”的函数：

文章插图
对于这样连续却“没有导数”的函数，当时的著名法国数学家埃尔米特写到：“我简直惊恐万分，不愿意面对这样没有导数的连续函数，但很不幸，这就是事实！” 。无数数学家的错误数学观念被这个函数冲垮了，它也再次说明，数学的灵魂是“严格”而非直觉。
当然，魏尔斯特拉斯并不满足于仅仅指出问题，他决心要结束关于微积分理论长达两百年的混战。魏尔斯特拉斯的伟大之处正在于，他可以从没有人关心的平凡细节中创造奇迹，可谓化腐朽为神奇。他观察到，真正决定函数性质的不是函数本身，而是实数，实数的性质完全决定了极限，连续，可微可导等函数概念，关于函数概念的含糊不清正是因为对实数的认识还不够。

文章插图
从实数出发导出函数的各种概念，这样的想法受到了当时许多数学家的嘲讽，他们都认为魏尔斯特拉斯是在自寻烦恼。但魏尔斯特拉斯显然没有受这些干扰，他严格地构造完备实数系，并从实数系出发，定义函数的极限，连续性，可微可导性，可积性，级数的敛散性等等，从而一举解决了函数概念不严格的长期难题，把分析学建立在了严格坚实的数学基础之上，分析学的“算术化”也就圆满完成了。

文章插图
关于魏尔斯特拉斯的伟大功绩，希尔伯特评价到：
“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深邃的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础。通过澄清极小、极大、函数、导数等概念，他排除了在微积分中仍在出现的各种错误提法，扫清了关于无穷大、无穷小等各种混乱观念，决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的困难。今天，分析学能达到这样和谐可靠和完美的程度本质上应归功于魏尔斯特拉斯的数学活动” 。

狄利克雷函数为什么处处不连续 狄利克雷函数( 二 )

秒懂生活扩展阅读

狄利克雷函数为什么处处不连续狄利克雷函数( 二 )