方程(x)=0可用根式解的充分必要条件是E对于F的伽罗瓦群是可解群 。由于伽罗瓦证明了当n≥5时n次交错群An是非交换的单群，当然是不可解的，而且一般的n次方程的伽罗瓦群是n次对称群，因而一般5次和5次以上的方程不可能用根式解 。

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总结来说，就是一般性的一元多项式方程能否根式解等价于这个多项式对应的对称群 Sn是否为可解群,而n=1,2,3,4时这个群是可解群，n大于等于5时这个群不是可解群 。
可以说伽罗瓦不仅证明一般高于四次的代数方程不能用根式求解，而且还建立了具体数字代数方程可用根式解的判别准则 。伽罗瓦理论提出了解决这一类问题的系统理论和方法，后来，可以说，伽罗瓦理论中的群论是近世抽象代数的基础，它是许多实际问题的数学模型，群论完全影响了后来数学、物理、化学等多门学科的发展 。



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这是解决五次方程难题中所开出的最丰硕的成果！

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