柯西不等式积分形式柯西不等式

高中数学不等式知识点及技巧及高中数学不等式知识点及技巧（二）：柯西不等式两篇文章中我们介绍了均值不等式和柯西不等式的知识点及简单的技巧，下面我们介绍一下权方和不等式。
一、权方和不等式【柯西不等式积分形式柯西不等式】全放和不等式是Holder不等式的特例，其形式如下：
若,则
，当且仅当时取等号。
证明略。
二、实用题型掌握了均值不等式和柯西不等式的基本技巧后，权方和不等式应该就不难掌握了，下面通过几个例题加深理解。
例1 已知正数
解：由全放和不等式可得
当且仅当时取等号。
点评：基本例题，轻松掌握。
例2 已知正数
解：
当且仅当x=y=1/2时取等号。
点评：基本例题，轻松掌握。
例3 求函数
解：
当且仅当时取等号。
点评：需要的和式以三角恒等式形式给出。
例4：已知的最小值。
解：
当且仅当时取等号。
点评：没有分母就创造分母。
例5 对正数求的最小值。
解：
=
当且仅当a=b=c=d时取等号。而
,当且仅当a=b=c=d时取等号。
∴
点评：轮换对称式巧妙给分子升幂。
例6 已知。
解析：
而，当且仅当a=b=c时取等号。
∴
例7 已知。
解析：
当且仅当时取等号。
点评：例6和例7可以琢磨琢磨。
例8 已知求证:
证：,同理

三式相加即可得证。
点评：轮换对称式可以分步来处理。
例9 已知正数求证：。
证：设,则

当且仅当x=y=z，即a=b=c时取等号。

例10 已知正数求证：
证：设
原不等式
,
而
当且仅当x=y=z,即a=b=c时取等号。
例11 已知,求证：
证：设,则有
①
原命题等价于证明
而由式①可得
当且仅当x=y=z，即a=b=c时取等号，证毕。
点评：例9~例11需一定的变换技巧，经变换后可以使用权方和不等式。
三、小结本文所述为狭义权方和不等式的一些应用，处理的是分子比分母幂次高1的不等式相关的题型，很多技巧在均值不等式和柯西不等式中也有使用。权方和不等式的应用需要掌握一定的变形和变换技巧，在充分理解不等式含义的基础上，可以大大提升解题的效率。

柯西不等式积分形式 柯西不等式

秒懂生活扩展阅读

柯西不等式积分形式柯西不等式