什么叫做自然数自然数有哪些

漫谈自然数的倒数和
自然数的倒数和,从吃货开始:
1.小明爱吃火腿肠,假设每天他有一根火腿肠,第一天他独享一根火腿肠,但从第二天开始,以后的每天他都会多一个朋友和他分享, 若每天按人数均分火腿肠请问他在以后的日子里,累计吃到的火腿肠会有10根之多吗?

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到底能不能达到呢?乍一看是不行,因为小明平分到的火腿肠越来越少,最后趋近于0,怎么会达到10根呢?你觉得呢?是不是达到两根都悬?
好吧,我们来分析一下:
达到两根还是容易呢!因为小明第一天就吃了一根了,第二天会有半根,第三天会有1/3根,第四天会有1/4根,你看这时他吃了多少?

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1+1/2+1/3+1/4=25/12,是不是大于2了?
那么他能不能吃到的总和多于3块呢?
如果一个数一个数地往后硬算,会很麻烦是不是?那么怎么来解决这个问题呢?事实上,数学家的思维不是一个个地累加,而是用估计的方式来完成就行了:
1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+…+1/16=1+(1/2)+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+1/10+…+1/16)
>1+(1/2) +(1/4)×2+ (1/8)×4+ (1/16)×8=3,
也就是说,至多到第16天,小明累计吃到的火腿肠就会超过3根.
那么按此算法,小明累计吃到了10根火腿肠的天数就不难得出:
把原数列的和:
1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+…
其项数由结合律进行分组:1+1+2+4+8+16+…+m,则必有
1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+…>1+m/2,
要求1+M/2>10,只要m>18,即可,那就是说要达18个括号分组,那究竟至多是第几项呢?
这样来算:

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=524 288,
哇!50万项之后呢?实际上,也可以对2的19次方进行如下估计:

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如果没有计算器的话,还是下面的估计快些.
注意,这里是至多哟,因为是估算,说不定前面的某项已经达到了呢.那么我们能不能找到一个办法精确地算出是第几项呢?
这个可是因难呢,可以说到目前为止,也没有很好的办法达到精确的估计,不过有我们可以对这个问题的一般情形,可以找到较为精确的估计:
1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+…

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通过绘制y=ln(1+x)和y=x的图象,不难发现x>ln(1+x)
则有
S=1+1/2+1/3+…+1/n
>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+...+ln(1+1/n)
=ln2+ln3/2+ln4/3+...+ln((n+1)/n)
=ln(2*3/2*4/4*...(n+1)/n)=ln(1+n),
实际上,还可以证明:
S=1+1/2+1/3+…+1/n<lnn+1,
可以看出,
ln(n+1)<1+1/2+1/3+…+1/n <lnn+1,
那就是说1+1/2+1/3+…+1/n与lnn接近,两者会不会有差别,差别有多大呢?
Euler第一个证明,即使n充分大,两者也不会相等,会差着一个常数C,这个常数是
C=0.57721566490153286060651209......
吊诡的是,直到今天,人们还没有弄清这个Euler常数C是什么样的数?它是无理数还是有理数不清楚(一般倾向认为C是无理数),更遑论代数数及超越数的判定了!
目前尚不知道欧拉常数是否为有理数，但是分析表明如果它是一个有理数，那么它的分母位数将超过10的242080次方.
上述问题被称为调和数列的求和,由此派生出来的Euler常数,在高等数学中甚有作用.
看下一个问题:
2.小红爱吃披萨饼,第一天她独享一只披萨,但以后每天来的人按天数的平方递增(即第n天来了n×n人), 若每天按人数均分披萨,问小红累计吃到的披萨会超过两只吗?

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乍看一下,好象可以用调和数列求和的方法来解决小红的问题,果真是这样吗?

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小红获得的蛋糕:

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1+1/(2×2)+1/(3×3)+1/(4×4)+…+1/(n×n)+…> 1+[1/(2×2)+1/(3×3)]+[1/(4×4)+ [1/(8×8)]+…
【什么叫做自然数自然数有哪些】我们立即发现,中括号内的项分母是不连续,无法象上面一样进行放缩估计,所以是行不通的!
实际上,我们尝试一下逐项计算:
记S(n)=1+1/(2×2)+1/(3×3)+1/(4×4)+…+1/(n×n),
则有
S(1)=1,S(2)= 1+1/(2×2)=5/4=1.25,S(3)= 1+1/(2×2)+1/(3×3) =49/36≈1.36,S(4)=1+1/(2×2)+1/(3×3)+1/(4×4)≈1.42,
S(5)=1+1/(2×2)+1/(3×3)+1/(4×4)+1/(5×5)≈1.46,
什么感觉,好象是越往后增加的越慢,是不是?这说明,这个数列的和可能是有界的!

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