1、幂函数的概念
一般地，函数

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叫做幂函数，其中是自变量，是常数；其定义域是使

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有意义的值的集合 。
例1、已知幂函数

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，且当

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时

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为减函数 。求幂函数的解析式 。
分析：正确理解幂函数的概念、幂函数的图象与性质 。求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白幂函数的定义是解题的关键 。
解答：由于

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为幂函数，
所以

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，解得

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，或

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。
当时，

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，

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在上为减函数；
当时，

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，

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在上为常函数，不合题意，舍去 。
故所求幂函数

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的解析式为

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。
2、幂函数的图象和性质
图象：

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性质：
（1）所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点；
（2）如果

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，则幂函数的图象过点

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和，并且在区间

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上是增函数；
（3）如果

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，则幂函数的图象过点，并在区间上是减函数 。在第一象限内，当从

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趋向于原点时，图象在

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轴右方无限地逼近轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴；
（4）当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数 。
例2、比较

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，，

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的大小 。
分析：先利用幂函数

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的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小 。
解答：

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而在上单调递增，且

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，

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。故

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。
例3、若函数

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在区间

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上是递减函数，求实数m的取值范围 。
分析：本题考查简单幂函数的性质以及函数图象的平移问题 。
函数

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是一个比较常用的幂函数，它也叫做反比例函数，其定义域是

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