什么是矩阵的迹什么是矩阵 _矩阵

什么是矩阵(什么是矩阵的迹)
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“矩阵”是什么意思？

什么是矩阵呢？

什么是“矩阵”？

什么叫矩阵的迹?

矩阵的迹到底有什么物理意义呢？

矩阵的迹有什么作用?具体应用在什么地方呢?

Q1：“矩阵”是什么意思？
矩阵矩阵就是由方程组的系数及常数所构成的方阵。把用在解线性方程组上既方便，又直观。例如对于方程组:a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3来说，我们可以构成两个矩阵：a1b1c1a1b1c1d1a2b2c2a2b2c2d2a3b3c3a3b3c3d3因为这些数字是有规则地排列在一起，形状像矩形，所以数学家们称之为矩阵，通过矩阵的变化，就可以得出方程组的解来。矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出并形成矩阵代数这一系统理论的。但是追根溯源，矩阵最早出现在我国的＜九章算术＞中，在＜九章算术＞方程一章中，就提出了解线性方程各项的系数、常数按顺序排列成一个长方形的形状。随后移动处筹，就可以求出这个方程的解。在欧洲，运用这种方法来解线性方程组，比我国要晚2000多年。数学上，一个m×n矩阵乃一m行n列的矩形阵列。矩阵由数组成，或更一般的，由某环中元素组成。矩阵常见于线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等。请参考矩阵理论。历史矩阵的研究历史悠久，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。1693年，微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨建立了行列式论(theoryofdeterminants) 。1750年，加布里尔·克拉默其后又定下了克拉默法则。1800年代，高斯和威廉·若尔当建立了高斯—若尔当消去法。1848年詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特首先创出matrix一词。研究过矩阵论的著名数学家有凯莱、威廉·卢云·哈密顿、格拉斯曼、弗罗贝尼乌斯和冯·诺伊曼。定义和相关符号以下是一个4×3矩阵：某矩阵A的第i行第j列，或i,j位，通常记为A[i,j]或Ai,j 。在上述例子中A[2,3]=7 。在C语言中，亦以A[i][j]表达。(值得注意的是,与一般矩阵的算法不同,在C中,"行"和"列"都是从0开始算起的)此外A=(aij)，意为A[i,j]=aij对于所有i及j，常见于数学著作中。一般环上构作的矩阵给出一环R，M(m,n,R)是所有由R中元素排成的m×n矩阵的集合。若m=n，则通常记以M(n,R) 。这些矩阵可加可乘(请看下面)，故M(n,R)本身是一个环，而此环与左R模Rn的自同态环同构。若R可置换，则M(n,R)为一带单位元的R-代数。其上可以莱布尼茨公式定义行列式：一个矩阵可逆当且仅当其行列式在R内可逆。在维基百科内，除特别指出，一个矩阵多是实数矩阵或虚数矩阵。分块矩阵分块矩阵是指一个大矩阵分割成“矩阵的矩阵” 。举例，以下的矩阵可分割成4个2×2的矩阵。此法可用于简化运算，简化数学证明，以及一些电脑应用如VLSI芯片设计等。对称矩阵对称矩阵是相对其主对角线（由左上至右下）对称,即是ai,j=aj,i 。埃尔米特矩阵（或自共轭矩阵）是相对其主对角线以复共轭方式对称,即是ai,j=a*j,i 。特普利茨矩阵在任意对角线上所有元素相对,是ai,j=ai+1,j+1 。随机矩阵所有列都是概率向量,用于马尔可夫链。矩阵运算给出m×n矩阵A和B，可定义它们的和A+B为一m×n矩阵，等i,j项为(A+B)[i,j]=A[i,j]+B[i,j] 。举例：另类加法可见于矩阵加法.若给出一矩阵A及一数字c，可定义标量积cA，其中(cA)[i,j]=cA[i,j] 。例如这两种运算令M(m,n,R)成为一实数线性空间，维数是mn.若一矩阵的列数与另一矩阵的行数相等，则可定义这两个矩阵的乘积。如A是m×n矩阵和B是n×p矩阵，它们是乘积AB是一个m×p矩阵，其中(AB)[i,j]=A[i,1]*B[1,j]+A[i,2]*B[2,j]++A[i,n]*B[n,j]对所有i及j 。例如此乘法有如下性质：(AB)C=A(BC)对所有k×m矩阵A,m×n矩阵B及n×p矩阵C("结合律").(A+B)C=AC+BC对所有m×n矩阵A及B和n×k矩阵C("分配律") 。C(A+B)=CA+CB对所有m×n矩阵A及B和k×m矩阵C("分配律") 。要注意的是：可置换性不一定成立，即有矩阵A及B使得AB≠BA 。对其他特殊乘法，见矩阵乘法。线性变换，秩，转置矩阵是线性变换的便利表达法，皆因矩阵乘法与及线性变换的合成有以下的连系：以Rn表示n×1矩阵（即长度为n的矢量）。对每个线性变换f:Rn->Rm都存在唯一m×n矩阵A使得f(x)=Ax对所有x∈Rn 。这矩阵A"代表了"线性变换f 。今另有k×m矩阵B代表线性变换g:Rm->Rk，则矩阵积BA代表了线性变换gof 。矩阵A代表的线性代数的映像的维数称为A的矩阵秩。矩阵秩亦是A的行（或列）生成空间的维数。m×n矩阵A的转置是由行列交换角式生成的n×m矩阵Atr（亦纪作AT或tA），即Atr[i,j]=A[j,i]对所有iandj 。若A代表某一线性变换则Atr表示其对偶算子。转置有以下特性：(A+B)tr=Atr+Btr，(AB)tr=BtrAtr 。

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