小波变换matlab代码小波变换

小波变换实质和作用小波变换是时频分析的一种方法。
小波变换时将一个时间信号变换到时间频率域，可以更好的观察信号的局部特性，可以同时观察信号的时间和频率信息，这是傅里叶变换达不到的；小波变换的冗余度很大。
冗余度，通俗的讲就是数据的重复度。在一个数据集合中重复的数据称为数据冗余，小波变换可以利用时间和频率域部分信息完整的表示信号。
小波变换最通俗的理解是什么？小波，一个神奇的波，可长可短可胖可瘦（伸缩平移），当去学习小波的时候，第一个首先要做的就是回顾傅立叶变换（又回来了，唉），因为他们都是频率变换的方法，而傅立叶变换是最入门的，也是最先了解的。通过傅立叶变换，了解缺点，改进，慢慢的就成了小波变换。主要的关键的方向是傅立叶变换、短时傅立叶变换，小波变换等，第二代小波的什么的就不说了，太多了没太多意义。
当然，其中会看到很多的名词，例如，内积，基，归一化正交，投影，Hilbert空间，多分辨率，父小波，母小波，这些不同的名词也是学习小波路上的标志牌，所以在刚学习小波变换的时候，看着三个方向和标志牌，可以顺利的走下去，当然路上的美景要自己去欣赏（这里的美景就是定义和推导了）。因为内容太多，不是很重要的地方我都注释为（查定义）一堆文字的就是理论（可以大体一看不用立刻就懂）。
而对于傅立叶变换的基是不同频率的正弦曲线，所以傅立叶变换是把信号波分解成不同频率的正弦波的叠加和，而对于小波变换就是把一个信号分解成一系列的小波，这里时候，也许就会问，小波变换的小波是什么啊，定义中就是告诉我们小波，因为这个小波实在是太多，一个是种类多，还有就是同一种小波还可以尺度变换，但是小波在整个时间范围的幅度平均值是0，具有有限的持续时间和突变的频率和振幅，可以是不规则，也可以是不对称,很明显正弦波就不是小波。
对小波变换的基础知识，需要注意的是，这只是小波变换最基本最基本的知识，但也是最核心的知识。掌握了这些，代表你对小波变换的物理意义有了一定的了解。但对于小波变换本身的讲解，一本书都不一定能将讲透，还有很多的基础知识我都没有讲，比如如何构建自己的scaling function，选取合适的系数集h[k]，并由此构建自己的wavelet functions 。所以，如果有深入下去研究的同学，好好买一本书来看吧。而只是希望用小波变换来服务自己的应用的同学，个人觉得这些知识已经足够让你用来起步了。
什么是小波变换？小波变换是以某些特殊函数为基将数据过程或数据系列变换为级数系列以发现它的类似频谱的特征，从而实现数据处理。
小波(wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小区域、长度有限、均值为0的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了fourier变换的困难问题，成为继fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜” 。
小波变换傅里叶变换的不足：
想知道各个成分出现的时间。知道信号频率随时间变化的情况，各个时刻的瞬时频率及其幅值——这也就是时频分析。
一个简单可行的方法就是——加窗。把整个时域过程分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳，再傅里叶变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。”这就是短时傅里叶变换。
使用STFT存在一个问题，我们应该用多宽的窗函数？
窗太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率分辨率差。窗太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。
用窄窗，时频图在时间轴上分辨率很高，几个峰基本成矩形，而用宽窗则变成了绵延的矮山。但是频率轴上，窄窗明显不如下边两个宽窗精确。
高频适合小窗口，低频适合大窗口。然而STFT的窗口是固定的，在一次STFT中宽度不会变化，所以STFT还是无法满足非稳态信号变化的频率的需求。
频域中提取的特征主要有：FFT系数、熵、能谱密度、功率下降率（Power Decline Rate，PDR）等。
小波函数定义为

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