不定积分和定积分的区别与联系不定积分( 二 )

∫ (cosx)^3 dx
=∫ (cosx)^2*cosx dx
=∫ (cosx)^2dsinx
=∫（1-(sinx)^2） dsinx
=∫1 dsinx-∫(sinx)^2 dsinx
=sinx-1/3*(sinx)^3+C
不定积分的意义：
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。
若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
不定积分什么意思具体回答如下：
令u＝tanx/2
则sinx＝2u/(1＋u2)
cosx＝(1－u2)/(1＋u2)
dx＝2du/(1＋u2)
∫1/(sinx＋cosx)
＝∫2/(1＋2u－u2)du
＝√2/2∫［1/(u－(1－√2))－1/(u－(1＋√2))］du
＝√2/2ln|(u－(1－√2))/(u－(1＋√2))|＋C
＝√2/2ln|(tanx/2－1＋√2)/(tanx/2－1－√2)＋C
不定积分的意义：
由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数) 。
这表明G(x)与F(x)只差一个常数，因此，当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数，也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞C+∞} 。
【不定积分和定积分的区别与联系不定积分】由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C 。

不定积分和定积分的区别与联系 不定积分( 二 )

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