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决策树之CART算法一、基本概念
1.cart使用基尼系数作为划分标准。基尼系数越小，则不纯度越低，区分的越彻底。
2.假设有k个类别，第k个类别的概率为,则基尼系数表达式为：
Gini(p)=(1-)=1-
3.对于样本D，如果根据特征A 的值把样本分为D1,D2两部分，则在特征A条件下，D的基尼系数
Gini(D,A)=Gini(D1)+Gini(D2)
【cart疗法全国叫停 cart】 4.CART建立起来的是二叉树，如果特征A有A1,A2，A3三个类别，CART会考虑把A分成{A1},{A2 ,A3}两组，或者是其他两种情况。由于这次A并没有完全分开，所以下次还有机会在子节点把A2,A3分开.
5.对于连续值的切分.假如有1 2 3 4 5 那么cart会有4个切分点 [1.52.53.54.5]
二.实例推导树的建立过程
1.假设我有以下源数据
序号天气周末促销销量
1 坏是是高
2 坏是是高
3 坏是是高
4 坏否是高
5 坏是是高
6 坏否是高
7 坏是否高
8 好是是高
9 好是否高
10 好是是高
11 好是是高
12 好是是高
13 好是是高
14 坏是是低
15 好否是高
16 好否是高
17 好否是高
18 好否是高
19 好否否高
20 坏否否低
21 坏否是低
22 坏否是低
23 坏否是低
24 坏否否低
25 坏是否低
26 好否是低
27 好否是低
28 坏否否低
29 坏否否低
30 好否否低
31 坏是否低
32 好否是低
33 好否否低
34 好否否低
该数据集有三个特征天气周末促销
2.为了简化建立树的过程,我将忽略基尼系数与样本个数阀值
2.1首先计算各个特征值对数据集的基尼系数,公式见---- 基本概念.3
Gini(D|天气)=17/34*(1-(11/17)^2-(6/17)^2)+17/34*(1-(7/17)^2-(10/17)^2)=0.4706
Gini(D|周末)=20/34*(1-(7/20)^2-(13/20)^2)+14/34*(1-(11/14)^2-(3/14)^2)=0.4063
Gini(D|促销)=12/34*(1-(9/12)^2-(3/12)^2)+22/34*(1-(7/22)^2-(15/22)^2)=0.4131
周末的基尼系数最小，这也符合我们的一般认识
2.2第一个分列特征选择周末。此时数据集按照是否周末分成两个。
Gini(周末|天气)=0.2679
Gini(周末|促销)=0.2714
Gini(非周末|天气)=0.3505
Gini(非周末|促销)=0.3875
此时，周末应该以天气作为划分，非周末也是以天气作为划分，下面放个图
三、CART树对于连续特征的处理
假如特征A为连续型变量，则把特征A按照从小到大进行排序，取相邻两点的平均值为切分点，计算基尼系数。则基尼系数最小的点为切分点，大于切分点的为一类，小于切分点的为另一类。举例：特征A的值为 1，2，3，4，5，6目标变量是高、低、高、低、高、低。则1.5处的基尼系数为(1/6)*(1-1^2)+(5/6)*(1-(2/5)^2-(3/5)^2)=0.42.5处的基尼系数为(2/6)*(1-(1/2)^2-(1/2)^2)+(4/6)*(1-(2/4)^2-(2/4)^2)=0.53.5处的基尼系数为(3/6)*(1-(1/3)^2-(2/3)^2)+(3/6)*(1-(1/3)^2-(2/3)^2)=0.444.5处的基尼系数为(4/6)*(1-(2/4)^2-(2/4)^2)+(2/6)*(1-(1/2)^2-(1/2)^2)=0.55.5处的基尼系数为(5/6)*(1-(2/5)^2-(3/5)^2)+(1/6)*(1-1^2)=0.4结论：1.5和5.5处的基尼系数最小，可以把1分为一类，2-6分为另一类。或者6分为一类，1-5另一类。
四、关于回归树
1.回归树和分类树的区别在于输出值类型不同。分类树输出的是离散值，回归树输出的是连续值。
2.和分类树使用基尼系数不同，回归树使用和均方差来度量最佳分隔点。假设有1 2 3 4 5 6 六个数。假设3.5处把数据分开最合适，那么(1-2)^2+(2-2)^2+(3-2)^2+(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2在所有分割点中取得最小值。2，5为各自数据段的平均值。
3.回归树采用最后叶子的平均值或者中值作为输出结果
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