欧拉函数前十项欧拉函数

求欧拉函数的计算公式它于1640年由Descartes首先给出证明，后来Euler(欧拉)于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理， R+V-E=2就是欧拉公式。
在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数， V记顶点个数， E记边界个数，则R+V-E=2 ，这就是欧拉定理。
当R=2时。
由说明1这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界” 。
即R=2 ， V=2 ， E=2于是R+V-E=2,欧拉定理成立。
欧拉函数计算公式是什么?它于1640年由Descartes首先给出证明，后来Euler(欧拉)于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理， R+V-E=2就是欧拉公式。
在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数， V记顶点个数， E记边界个数，则R+V-E=2 ，这就是欧拉定理。
当R=2时。
由说明1这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界” 。
即R=2 ， V=2 ， E=2于是R+V-E=2,欧拉定理成立。

文章插图
欧拉函数的证明欧拉函数：对任意大于1的正整数x ， [1, x]范围内与x互质的正整数的个数 f(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2).....(1-1/pn)
其中pi为x所有的质因数（i=1, 2, ... , n）
证明：
当x=2时，仅有1与x互质，仅有1个质因数2 ，因此f(x)=x(1-1/p1)=2*(1-1/2)=1, 欧拉函数成立。
当x=p^k时，其中p为质数， k为正整数，则与x不互质的正整数为p, 2p, ..., x, 即p(1, 2, ..., x/p), 除此之外的数均与x互质，因此互质的个数为x-x/p=x(1-1/p), 欧拉函数成立。
当x=(p1^k1) * (p2^k2)时，根据定理，两个互质的正整数的欧拉函数之积等于其积的欧拉函数，因为(p1^k1) 与 (p2^k2) 互质，因此：
【欧拉函数前十项欧拉函数】 f((p1^k1) * (p2^k2)) = f(p1^k1) * f(p2^k2) = p1^k1(1-1/p1) * p2^k2(1-1/p2) =(p1^k1) * (p2^k2) * (1-1/p1) * (1-1/p2)
即 f(x) = x(1-1/p1) * (1-1/p2) ，欧拉函数成立。
当x=(p1^k1) * (p2^k2) * ... * (pt^kt) , 其中t=3时，因为 (p1^k1) 与 (p2^k2) * ... * (pt^kt) 互质，因此
f(x) = f(p1^k1) * f((p2^k2) * ... * (pt^kt)),
同理不断展开，即
f(x) = f(p1^k1) * f(p2^k2) * ... * f(pt^kt) = (p1^k1) * (1-1/p1)* (p2^k2) * (1-1/p2) .........* (pt^kt) * (1-1/pt)
= (p1^k1) * (p2^k2) * ... * (pt^kt) * (1-1/p1) * (1-1/p2) * .... * (1-1/pt)
= x(1-1/p1) (1-1/p2)....(1-1/pt)
证明完毕

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