调和平均数小于几何平均数证明调和平均数

调和平均值是什么?调和平均数又称倒数平均数，是总体各统计变量倒数的算术平均数的倒数。
调和平均数是平均数的一种。但统计调和平均数，与数学调和平均数不同，它是变量倒数的算术平均数的倒数。由于它是根据变量的倒数计算的，所以又称倒数平均数。调和平均数也有简单调和平均数和加权调和平均数两种。简单调和平均数是算术平均数的变形，它的计算公式如下：
调和平均数使用注意：
（1）当变量数列有一变量X的值为零时，调和平均数公式的分母将等于无穷大，因而无法求出确定的平均值。
（2）调和平均数和算术平均数一样，易受两极端值影响。上端值越大，平均数向上偏离集中趋势就越大。反之，下端值越大，平均数向下偏离集中趋势越大。
（3）要注意区分调和平均数和算术平均数的使用条件，因事制宜。
调和平均数调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数，结论如下：
1/[(1/a+1/b)/2]=√(ab)=(a+b)/2=√[a^2+b^2)/2] (a0,b0)；
证明过程：
设a、b均为正数，且ab.
1、利用基础的几何和算术并且反向构建方程式可得：(a - b)^2 = 0，
即(a + b)^2 - 4ab = 0，故a + b = √(4ab) = 2√(ab).
经过变形可得：√(ab)=(a+b)/2，
即：几何平均数≤算术平均数。
【调和平均数小于几何平均数证明调和平均数】2、利用上式的结论，可得：1 / (1/a + 1/b) = ab/(a+b) = ab / 2√(ab).
即：调和平均数≤几何平均数。
3、利用算式平方：因(a^2 + b^2) / 2 - (a/2 + b/2)^2 = (a - b)^2 / 4 = 0，
故√((a^2 + b^2) / 2) = (a + b)/2.
即：算术平均数≤平方平均数。
整理以上结果可得： 1/[(1/a+1/b)/2]=√(ab)=(a+b)/2=√[a^2+b^2)/2] (a0,b0)，即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。
扩展资料：
调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数的一般表示方法：
1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)，（n=0）
2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)，（n=0)
3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n,(n=0)
4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n],(n=0)
这四种平均数都满足Hn≤Gn≤An≤Qn的条件。
什么是调和平均数调和平均数是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，也称倒数平均数。
调和平均数有什么意义调和平均数又称倒数平均数，是总体各统计变量倒数的算术平均数的倒数。调和平均数是平均数的一种。但统计调和平均数，与数学调和平均数不同，它是变量倒数的算术平均数的倒数。由于它是根据变量的倒数计算的，所以又称倒数平均数。调和平均数也有简单调和平均数和加权调和平均数两种。
调和平均数特点
调和平均数具有以下几个主要特点：
①调和平均数易受极端值的影响，且受极小值的影响比受极大值的影响更大。
②只要有一个标志值为0，就不能计算调和平均数。
③当组距数列有开口组时，其组中值即使按相邻组距计算，假定性也很大，这时的调和平均数的代表性很不可靠。
④调和平均数应用的范围较小。在实际中，往往由于缺乏总体单位数的资料而不能直接计算算术平均数，这时需用调和平均法来求得平均数。

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