支持向量机预测模型支持向量机( 五 )

总结
让我们再来看看上述推导过程中得到的一些有趣的形式。首先就是关于我们的 hyper plane ，对于一个数据点 x 进行分类，实际上是通过把 x 带入到算出结果然后根据其正负号来进行类别划分的。而前面的推导中我们得到:
因此分类函数为：
这里的形式的有趣之处在于，对于新点 x的预测，只需要计算它与训练数据点的内积即可（表示向量内积），这一点至关重要，是之后使用 Kernel 进行非线性推广的基本前提。此外，所谓 Supporting Vector 也在这里显示出来——事实上，所有非Supporting Vector 所对应的系数都是等于零的，因此对于新点的内积计算实际上只要针对少量的“支持向量”而不是所有的训练数据即可。
为什么非支持向量对应的等于零呢？直观上来理解的话，就是这些“后方”的点——正如我们之前分析过的一样，对超平面是没有影响的，由于分类完全有超平面决定，所以这些无关的点并不会参与分类问题的计算，因而也就不会产生任何影响了。
回忆一下我们通过 Lagrange multiplier得到的目标函数：
注意到如果 xi 是支持向量的话，上式中红颜色的部分是等于 0 的（因为支持向量的 functional margin 等于 1 ），而对于非支持向量来说，functional margin 会大于 1 ，因此红颜色部分是大于零的，而又是非负的，为了满足最大化，必须等于 0。这也就是这些非Supporting Vector 的点的局限性。
至此，我们便得到了一个maximum margin hyper plane classifier，这就是所谓的支持向量机（Support Vector Machine）。当然，到目前为止，我们的 SVM 还比较弱，只能处理线性的情况，不过，在得到了对偶dual 形式之后，通过 Kernel 推广到非线性的情况就变成了一件非常容易的事情了(通过求解对偶问题得到最优解，这就是线性可分条件下支持向量机的对偶算法，这样做的优点在于：一者对偶问题往往更容易求解；二者可以自然的引入核函数，进而推广到非线性分类问题”) 。
事实上，大部分时候数据并不是线性可分的，这个时候满足这样条件的超平面就根本不存在。在上文中，我们已经了解到了SVM处理线性可分的情况，那对于非线性的数据SVM咋处理呢？对于非线性的情况，SVM 的处理方法是选择一个核函数 κ(?,?) ，通过将数据映射到高维空间，来解决在原始空间中线性不可分的问题。
具体来说，在线性不可分的情况下，支持向量机首先在低维空间中完成计算，然后通过核函数将输入空间映射到高维特征空间，最终在高维特征空间中构造出最优分离超平面，从而把平面上本身不好分的非线性数据分开。如图所示，一堆数据在二维空间无法划分，从而映射到三维空间里划分：
而在我们遇到核函数之前，如果用原始的方法，那么在用线性学习器学习一个非线性关系，需要选择一个非线性特征集，并且将数据写成新的表达形式，这等价于应用一个固定的非线性映射，将数据映射到特征空间，在特征空间中使用线性学习器，因此，考虑的假设集是这种类型的函数：
这里?：X-F是从输入空间到某个特征空间的映射，这意味着建立非线性学习器分为两步：
首先使用一个非线性映射将数据变换到一个特征空间F，
然后在特征空间使用线性学习器分类。
而由于对偶形式就是线性学习器的一个重要性质，这意味着假设可以表达为训练点的线性组合，因此决策规则可以用测试点和训练点的内积来表示：
如果有一种方式可以在特征空间中直接计算内积〈φ(xi · φ(x)〉，就像在原始输入点的函数中一样，就有可能将两个步骤融合到一起建立一个非线性的学习器，这样直接计算法的方法称为核函数方法：
核是一个函数K，对所有x，z，满足，这里φ是从X到内积特征空间F的映射。
来看个核函数的例子。如下图所示的两类数据，分别分布为两个圆圈的形状，这样的数据本身就是线性不可分的，此时咱们该如何把这两类数据分开呢(下文将会有一个相应的三维空间图)？
事实上，上图所述的这个数据集，是用两个半径不同的圆圈加上了少量的噪音生成得到的，所以，一个理想的分界应该是一个“圆圈”而不是一条线（超平面）。如果用和来表示这个二维平面的两个坐标的话，我们知道一条二次曲线（圆圈是二次曲线的一种特殊情况）的方程可以写作这样的形式：
注意上面的形式，如果我们构造另外一个五维的空间，其中五个坐标的值分别为，那么显然，上面的方程在新的坐标系下可以写作：

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