狄利克雷函数图像狄利克雷函数

狄利克雷函数的公式定义狄利克雷函数的公式定义：
实数域上的狄利克雷（Dirichlet）函数表示为：
（k，j为整数）也可以简单地表示分段函数的形式D(x)= 0（x是无理数）或1（x是有理数）
狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。
扩展资料：
狄里克雷函数是周期函数，但是却没有最小正周期，它的周期是任意负有理数和正有理数。因为不存在最小负有理数和正有理数，所以狄里克莱函数不存在最小正周期。
偶函数公式：
1、如果知道函数表达式,对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都满足 f(x)=f(-x) 如y=x*x；
2、如果知道图像,偶函数图像关于y轴（直线x=0）对称.
3、定义域D关于原点对称是这个函数成为偶函数的必要不充分条件.
例如:f(x)=x^2,x∈R，此时的f(x)为偶函数.f(x)=x^2,x∈(-2,2](f(x)等于x的平方,-2x≤2),此时的f(x)不是偶函数。
参考资料来源：百度百科——狄利克雷函数
狄利克雷函数表达式是什么？函数表示为：
（k，j为整数）也可以简单地表示分段函数的形式D(x)= 0（x是无理数）或1（x是有理数）。
【狄利克雷函数图像狄利克雷函数】狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。
狄利克雷函数的出现，表示数学家“J对数学的理解发生了深刻的变化。数学的一些“人造”特征开始展现出来这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”狄利克雷是数学史上第一位重视概念的人。并且是有意识地“以概念代替直觉”的人。
在狄利克雷之前，数学家们主要研究具体函数进行具体计算，他们不大考虑抽象问题。但狄利克雷之后，事情逐渐变化了。人们开始考虑函数的各种性质，例如(函数的)对称性、增减性、连续性等。
什么是狄立克雷函数？怎么证明它是偶函数和周期函数？狄利克雷函数是：当x是有理数时,f(x)=1；当x是无理数时,f(x)=0.
显然该函数是个偶函数,因为x和-x要么都是有理数,要么都是无理数。
容易看出任何正的有理数都是该函数的周期,比如1,0.5都是它的周期,不过由于没有最小的正有理数,它没有最小正周期。
狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。
基本性质
1、定义域为整个实数域R
2、值域为{0,1}
3、函数为偶函数
4、无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在
5、以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）
分析性质
1、处处不连续。
2、处处不可导。
3、在任何区间内黎曼不可积。
4、函数是可测函数。
5、在单位区间[0,1]上勒贝格可积，且勒贝格积分值为0（且任意区间a,b以及R上甚至任何R的可测子集上（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）。
对性质5的说明：虽然m(R/Q)=+∞，但在R/Q上有f(x)=0，符合可积条件（说明中Q为有理数集）。

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