全微分方程通解怎么求全微分方程

怎么判断一个方程是否是全微分方程？若P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y),则称Pdx+Qdy=0为全微分方程,显然,这时该方程通解为u(x,y)=C(C是任意常数).
根据二元函数的全微分求积定理:设开区域G是一单连通域,函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G内为某一函数u(x,y)的全微分的充要条件是P'(y)=Q'(x),在G内恒成立.
【全微分方程通解怎么求全微分方程】例：判断方程（3x26xy2)dx+(4y3+6x2y)dy=0是否全微分方程，并求其通解
（3x^2+6xy^2)dx+(4y^3+6x^2y)dy=0,
P=3x^2+6xy^2,Q=4y^3+6x^2y,
δP/δy=12xy=δQ/δx,
所以这是全微分方程，
u(x,y)=∫[0,x](3x^2+6xy^2)dx+∫[0,y]4y^3dy
=x^3+3x^2y^2+y^4,
方程通解:x^3+3x^2y^2+y^4=C.

文章插图
常微分方程，偏微分方程，全微分方程各是什么，有什么区别？常微分方程：解得的未知函数是一元函数的微分方程。
偏微分方程：解得的未知函数是多元函数的微分方程。
全微分方程：一个一阶微分方程写成P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的形式后，它的左端恰好是某个函数u=u(x,y)的全微分,则该微分方程叫全微分方程。
什么是全微分方程?若P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y),则称Pdx+Qdy=0为全微分方程,显然,这时该方程通解为u(x,y)=C(C是任意常数).
方程中的未知数含有微分的情况,只要有dx 对于未知数x 这就是个全微分方程
常微分方程,偏微分方程,全微分方程各是什么,有什么区别?常微分方程：解得的未知函数是一元函数的微分方程.
偏微分方程：解得的未知函数是多元函数的微分方程.
全微分方程：一个一阶微分方程写成P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的形式后,它的左端恰好是某个函数u=u(x,y)的全微分,则该微分方程叫全微分方程.
解全微分方程的方法这类微分方程都具有dz=P(x,y)dx+Q(x,y)dy的形式，且满足P关于y的偏导数等于Q关于x的偏导数的特点。解答过程如下：
先由P关于y的偏导数等于Q关于x的偏导数，得出dz=P(x,y)dx+Q(x,y)dy是一个全微分方程的结论。接着得出通解是z=从（0,0）到（x ， y）第二型曲线积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy 。
接下来，根据该积分与积分路径无关（因为P关于y的偏导数等于Q关于x的偏导数），可以选择从点（0,0）到点（x ， y）的特殊路径积分，而最常选取的是沿折线路径积分，即先从（0,0）到（0 ， y）、再从（0 ， y）到（x ， y）的折线或者是先从（0,0）到（x ， 0）、再从（x ， 0）到（x ， y）的折线。最后z=积分结果就是通解。
例如：阁下这个题，假如选择（0,0）到（x ， 0）、再从（x ， 0）到（x ， y）的折线积分，则通解是z=（0,0）到（x ， 0）积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy+ （x ， 0）到（x ， y）积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy 。
在第一个积分里， y（=0）是常数，所以dy=0 ，结果成为定积分（从0到x）（x^2 +2x*0-0^2）dx=1/3 * x^3 +C1.
在第二个积分里， x一直没变是常数，所以dx=0 ，结果成为定积分（从0到y）(x^2 -2xy -y^2)dy=x^2 * y -x*y^2-1/3 * y^3 +C2.
于是，通解是z=1/3 * x^3 +x^2 * y -x*y^2-1/3 * y^3 +C.
什么叫全微分方程它与微分方程有什么区别？全微分方程是指常微分方程，是一门数学课程名，是相对于偏微分方程（数学物理方程）而言，专门研究只含一元函数的导数（微分）的方程。全微分是多元函数的先行主部，数值为各偏导数与各自增量乘积增量之和。
它与微分方程区别是常微分方程主要是解得的未知函数是一元函数的微分方程，而偏微分方程主要内容为解得的未知函数是多元函数的微分方程。
条件分析
全微分方程的充分必要条件为?M/?y=?N/?x 。为了求出全微分方程的原函数，可以采用不定积分法和分组法，对于不是全微分方程，也可以借助积分因子使其成为全微分方程，再通过以上方法求解。
若微分形式的一阶方程P(x ， y)dx+Q(x ， y)dy=0的左端，而恰好是一个二元函数U（x ， y）的全微分，即 dU(x ， y)=P(x ， y)dx+Q(x ， y)dy 。

全微分方程通解怎么求 全微分方程

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