傅里叶变换红外光谱仪傅里叶变换

傅里叶变换简介傅里叶级数得名于法国数学家约瑟夫·傅里叶，他提出任何函数都可以展开为三角级数。
考虑一个在区间上可积的函数，其傅里叶级数为
其中
由欧拉公式得
代入（1）可得
令
则可以得到傅里叶级数的复数形式
其中
傅里叶变换可以看作傅里叶级数的连续形式。
首先考虑定义在上的函数的傅里叶级数展开：
其中
令
记
则
【傅里叶变换红外光谱仪傅里叶变换】当时，，， (14) 中的求和变为积分
相应地， (12) 变为
(16) 称为傅里叶变换，记作；(15) 称为傅里叶变换的逆变换，记作。在信号分析中，称为信号的时域表示，称为信号的频域表示。
需要明确的是，不管是用时域还是用频域来表示一个信号，它们代表的都是同一个信号。可以从线性空间的角度理解这一点。同一个信号在不同的表象（或者说基向量）下具有不同的坐标。同一个向量在不同表象下的坐标可以通过一个线性变换联系起来。如果是有限维的空间，这个线性变换可以表示为一个矩阵。而傅里叶变换则是无限维空间不同表象之间的一种变换。举例来说，在量子力学中，一个波函数的坐标表象到动量表象间的变换就是一个傅里叶变换。
也可以将角频率替换为自然频率，有，则
一般情况下，我们处理的信号都是离散的。取在时间上的离散采样
是采样的时间间隔。傅里叶变换只能作用在连续函数上，为此我们引入
其中
为 Dirac 函数。称为 Dirac 梳子，亦称 Shah 分布，是一个采样函数，常用在数字信号处理和离散时间信号分析中。
对作傅里叶变换
这里利用了 Dirac 函数的性质。(22) 即为离散时间傅里叶变换。
下面简单介绍一下采样定理。若原信号不包含高于的频率，即，则只要采样频率，时域采样就能完全重建原信号。
将在上展开为傅里叶级数
其中
注意到时，而，故时，因此 (24) 可改写为
代入 (23) ，得
这里。(26) 说明原信号的傅里叶变换可以由采样信号确定，进而可以利用傅里叶逆变换重建原信号。
此外，不难发现
是一个周期为的周期函数。离散傅里叶变换可以看作原信号连续傅里叶变换的周期延拓，时域的离散化造成了频域的周期化。
离散时间傅里叶变换在频域上仍然是连续的。如果把频域也离散化，就得到了离散傅里叶变换。
也可以写成矩阵形式
其中。
离散傅里叶变换的逆变换为
直接根据定义计算离散傅里叶变换的复杂度是。快速傅里叶变换是快速计算离散傅里叶变换及其逆变换的一类数值算法。FFT 通过把 DFT 矩阵分解为稀疏矩阵之积，能够将复杂度降低到。
在 Python 中可以利用scipy.fftpack进行快速傅里叶变换。

文章插图
傅里叶变换的原理是什么？傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法，要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。
傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。
傅立叶变换的提出：
用正弦曲线来代替原来的曲线而不用方波或三角波来表示的原因在于，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。
一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。
傅立叶变换傅立叶变换分类：
四种原信号图例：

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