多项式代数基本定理代数基本定理( 二 )

代数的组成：
1、初等代数
在古代，当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解代数方程的原理为中心问题的初等代数。
初等代数（elementary algebra）是研究数字和文字的代数运算理论和方法，更确切的说，是研究实数和复数，以及以它们为系数的代数式的代数运算理论和方法的数学分支学科。
2、高等代数
高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。
参考资料来源：百度百科—代数

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代数学基本定理是什么？代数基本定理［Fundamental Theorem of Algebra］是指：对于复数域，每个次数不少于1的复系数多项式在复数域中至少有一根。由此推出，一个n次复系数多项式在复数域内有且只有n个根，重根按重数计算。
这个定理的最原始思想是印度数学家婆什迦罗［1114-1185？］在1150年提出的。他提出了一元二次方程的求根公式，发现了负数作为方程根的可能性，并开始触及方程根的个数，即一元二次方程有两个根。婆什迦罗把此想法称为《丽罗娃提》［Lilavati］，这个词原意是「美丽」，也是他女儿的名称。
1629年荷兰数学家吉拉尔在《代数新发现》中提出他的猜测，并断言n次多项式方程有n个根，但是没有给出证明。
1637年笛卡儿［1596-1650］在他的《几何学》的第三卷中提出：一个多少次的方程便有多少个根，包括他不承认的虚根与负根。
【多项式代数基本定理代数基本定理】欧拉在1742年12月15日在给朋友的一封信中明确地提出：任意次数的实系数多项式都能够分解成一次和二次因式的乘积。达朗贝尔、拉格朗日和欧拉都曾试过证明此定理，可惜证明并不完全。高斯在1799年给出了第一个实质证明，但仍欠严格。后来他又给出另外三个证明［1814-1815，1816，1848-1850］，而「代数基本定理」一名亦被认为是高斯提出的。
高斯研究代数基本定理的方法开创了探讨数学中存在性问题的新途径。20世纪以前，代数学所研究的对象都是建立在实数域或复数域之上，因此代数基本定理在当时曾起到核心的作用。
代数基本定理是何时发现的这个定理最早在荷兰数学家吉拉尔的论著《代数新发现》(1629)中给出，他推测并断言n次多项式方程有n个根，但是没有给出证明。笛卡儿于1637年也提出了这个定理，但其表述形式与现代的不同。马克劳林和欧拉使得定理的表述更为精确，并且给出与现代表述等价的一种形式：任何实系数多项式都能分解为实系数的一次和二次因子之积。达朗贝尔于1746年给出代数基本定理的第一个证明。到18世纪后半叶，欧拉、拉昔拉斯、拉格朗日等人又相继给出一些证明。所有这些证明都预先假设多项式的一些“理想的”根确实存在，然后去证明在这些根中至少有一个是复数。高斯最先在不假定多项式的根实际存在的情况下于1799年给出了第一个实质性的证明，但仍欠严格。后来他又给出另外三个证明(1814--1815，1816，1848—1850) 。高斯研究代数基本定理的方法开创了探讨数学中存在性问题的新途径。20世纪以前，代数学所研究的对象都是建立在实数域或复数域上的，因此代数基本定理在当时曾起到核心的作用。
代数学基本定理是什么？如何证明它？代数学基本定理：任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根(n≥1)，由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）
证明过程：
所有的证明都包含了一些数学分析，至少是实数或复数函数的连续性概念。有些证明也用到了可微函数，甚至是解析函数。
定理的某些证明仅仅证明了任何实系数多项式都有复数根。这足以推出定理的一般形式，这是因为，给定复系数多项式p(z)，以下的多项式
就是一个实系数多项式，如果z是q(z)的根，那么z或它的共轭复数就是p(z)的根。
许多非代数证明都用到了“增长引理”：当|z|足够大时，首系数为1的n次多项式函数p(z)的表现如同z 。一个更确切的表述是：存在某个正实数R，使得当|z|R时，就有：

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