数学悖论的例子数学悖论( 三 ) _数学

Q4：数学悖论有哪些
在世界数学史当中，著名的悖论有伽利略悖论、贝克莱悖论、康德的二律背反、集合论悖论等。现代有光速悖论、双生子佯谬、整体性悖论等。这些悖论从逻辑上看来都是一些思维矛盾，从认识论上看则是客观矛盾在思维上的反映。悖论的历史很悠久，但直到本世纪初，人们才真正开始专门研究悖论的本质，以下列举三个著名而有趣的数学悖论。古希腊数学家芝诺提出关于运动的不可分性的哲学悖论被称为芝诺悖论，有个著名的例子。在阿喀琉斯和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。当阿喀琉斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟！伽利略悖论。伽利略认为，正整数中，有些是偶数，有些不是。因此，他就猜测，正整数一定比偶数多。但是每一个正整数乘以 2 都能得到一个偶数，而每一个偶数除以 2 都能得到一个正整数，那么从无限的数看来，偶数和正整数都是一一对应的，那么，这就说明，在无穷大的世界里，部分可能等于全体。最有趣的就是理发师悖论。在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人” ，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人” ，他就不该给自己刮脸。理发师悖论与罗素悖论是等价的：如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。

Q5：悖论的例子
两分法悖论“在你穿过一段距离之前，必先穿过这个距离的一半。”意思是说向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点，又必须先经过路程的四分之一点；要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等等，如此类推，以至无穷。由此得出的结论就是：运动是不可穷尽的过程，运动永远不可能有开始。阿基里斯追龟“阿基里斯追不上乌龟”是古希腊的一个哲学故事。阿基里斯是当时的一个善于长跑的人。阿基里斯当然能够追上乌龟，用方程可以来解决。假设阿基里斯的速度为a ，乌龟的速度为b ，阿基里斯开始追赶乌龟的时候，乌龟在阿基里斯的前面，假设这段距离为c ，请问需要多少时间阿基里斯可以追上乌龟。设所需要的时间为x ，那么ax=bx+c, x=c/(a-b).由于a b c都是常数， x当然可以求得一个解。当然如果a b 的差如果很小，那么解可以趋于无穷大。但是在这个哲学故事里面和这个问题却毫无关系，在这个故事里面说阿基里斯追不上乌龟是说，不论阿基里斯比乌龟跑得有多快，他都追不上。但是当我们引入无限分割的问题时，马上出现了变化。如果我们故意这样思考：阿基里斯在追赶乌龟的过程中，或者追上乌龟之前，必须先走完乌龟当前已经超过他的距离。（这不是假设，而是确实应该的事情。但是这种思维方式却是假定的，你可以用这样的思维方式，也可以不用。一旦用了这样的思维方式，就会使思维过程没有完结，从而使得阿基里斯追不上乌龟。）按照这种思维方式，当阿基里斯走完乌龟超过他的距离后，乌龟在这段时间里也前进了一段距离，虽然愈来愈小。每次这样的思维，结果都是一样的，在这个过程中，逻辑并没有犯错。我们可以把这样的思考无限循环下去，而且乌龟继续前进的距离永远不会是零，虽然趋向无穷小，那么可以用形式逻辑的方法，推出这样的结论：阿基里斯永远追不上乌龟。以上的问题怎么解决呢？或许可以用微积分的方法。阿基里斯追不上乌龟的故事中，实际涉及到：对有限空间在有限时间内以无限速度作无限分割。这个分割实际就是无穷小，我们完全可以规定这个无穷小等于0 ，因此只要出现无穷小的现象或情况，我们就可以认为0要出现，事物的变化就有确定性。或许我们和古人的区别在于，我们认为无穷小是0 ，而古人认为无穷小是永远不能等于0 。古人他们太认真了，他们会想，无穷小仅仅是无穷小，怎么会是0呢，相反它永远也不会是0 。实际上无穷小是一个完整的概念，一旦把它有限化，那么它就不是零了。要找到0与非0之间的界限，实际上还是用有限的方式，去思维无限的对象，或者把有限的事物予以无限化。飞矢不动“飞矢不动”：飞着的箭在任何瞬间都是既非静止又非运动的。如果瞬间是不可分的，箭就不可能运动，因为如果它动了，瞬间就立即是可以分的了。但是时间是由瞬间组成的，如果箭在任何瞬间都是不动的，则箭总是保持静止。所以飞出的箭不能处于运动状态。芝诺问他的学生：“一支射出的箭是动的还是不动的？”“那还用说，当然是动的。”“确实是这样，在每个人的眼里它都是动的。可是，这支箭在每一个瞬间里都有它的位置吗？”“有的，老师。”“在这一瞬间里，它占据的空间和它的体积一样吗？”“有确定的位置，又占据着和自身体积一样大小的空间。”“那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是不动的？”“不动的，老师”“这一瞬间是不动的，那么其他瞬间呢？”“也是不动的，老师”“所以，射出去的箭是不动的？”游行队伍悖论游行队伍悖论是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论中的一个，属于芝诺悖论。这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。这些悖论中最著名的两个是：“阿喀琉斯跑不过乌龟”和“飞矢不动” 。这些方法现在可以用微积分（无限）的概念解释。首先假设在操场上，在一瞬间（一个最小时间单位）里，相对于观众席A ，列队B、C将分别各向右和左移动一个距离单位。□□□□□□□□ 观众席A■■■■■■■■队列B……向右移动●●●●●●●● 队列C……向左移动初始状态:□□□□□□□□■■■■■■■■●●●●●●●●B、C两个列队开始移动，如下图所示相对于观众席A ， B和C分别向右和左各移动了一个距离单位。□□□□□□□□■■■■■■■■●●●●●●●●而此时，对B而言C移动了两个距离单位。也就是，队列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）里移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此队列是移动不了的。钱包悖论谎言者悖论集合论悖论辛普森悖论苏格拉底悖论书目悖论唐·吉诃德悖论

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